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Capítulo: Las Derivadas
Dirigido a estudiantes de primer año de universidad
1. Introducción motivacional (origen del concepto)
En el mundo que nos rodea, el cambio es una constante. Pensemos en el movimiento de un automóvil: ¿cómo sabemos si acelera o desacelera en un instante preciso? O en la economía, donde los precios fluctúan: ¿qué nos dice sobre la tasa de inflación en un momento dado?
Históricamente, el concepto de derivada surgió en el siglo XVII con Newton y Leibniz, motivados por problemas de física (movimiento planetario, óptica) y geometría (tangentes a curvas). Hoy se usa en biología (crecimiento poblacional), ingeniería (optimización estructural), economía, machine learning, entre muchos otros campos.
La derivada existe para cuantificar el cambio instantáneo.
2. Problemas generadores
Un objeto cae desde 100 m con $s(t) = 100 - 4.9t^2$. ¿Cuál es su velocidad exacta en $t=2$ s?
→ Límite: $\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{s(t+h)-s(t)}{h}$
Radio $r(t)=5-0.1t$. Volumen $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. ¿A qué velocidad cambia el volumen cuando $r=3$ cm?
→ $\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$
$C(q) = 0.01q^2 + 10q + 1000$. Minimizar costo promedio $A(q) = C(q)/q$.
→ Encontrar $q$ tal que $A'(q)=0$
3. Marco teórico y definiciones fundamentales
Sea $f:D\to\mathbb{R}$, $a\in D$ interior.
Definición (Derivada en un punto):
$$ f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$si el límite existe. Representa la pendiente de la tangente en $(a,f(a))$.
Notaciones equivalentes: $f'(x),\ \frac{dy}{dx},\ \dot{y},\ D_x f$
Derivadas de orden superior: $f''(x) = (f'(x))'$, $f'''(x)$, etc.
4. Clasificación estructural
- Tipo 1: funciones algebraicas (polinomios, racionales, radicales)
- Tipo 2: funciones trascendentes (exp, log, trigonométricas)
- Tipo 3: derivadas compuestas y paramétricas
- Tipo 4: diferenciación implícita
5. Teoremas y reglas principales
Regla de la potencia: $\ (x^n)' = n x^{n-1}$
Regla del producto: $\ (uv)' = u'v + uv'$
Regla del cociente: $\ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Regla de la cadena: $\ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Derivadas trascendentes básicas:
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \sec^2 x$
6. Ejemplos prototípicos desarrollados
$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$
$f'(x) = 12x^3 - 4x$
$g(x) = e^{2x} \sin x$
$g'(x) = 2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x = e^{2x}(2\sin x + \cos x)$
$x^2 + y^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad 2x + 2y\, y' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{x}{y}$
7. Resolución de los problemas generadores
$s(t) = 100 - 4.9t^2 \quad \Rightarrow \quad v(t) = s'(t) = -9.8t$
$v(2) = -19.6\ \text{m/s}$ (hacia abajo)
$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2,\quad \frac{dr}{dt} = -0.1$
$\frac{dV}{dt}\bigg|_{r=3} = 4\pi (9) (-0.1) = -3.6\pi \approx -11.31\ \text{cm}^3/\text{min}$
$A(q) = 0.01q + 10 + \frac{1000}{q}$
$A'(q) = 0.01 - \frac{1000}{q^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad q \approx 316.2$ unidades
8. Síntesis conceptual
- La derivada cuantifica tasas de cambio instantáneas
- Clasificación: algebraicas, trascendentes, compuestas, implícitas
- Herramientas clave: reglas de derivación + cadena + implícita
- Prepara el camino hacia: integrales, ecuaciones diferenciales, optimización avanzada
9. Ejercicios propuestos
Básicos
- $f(x)=x^3+5x-2$ → derivada
- $g(x)=\frac{3}{x^2}$ → derivada
Intermedios
- $h(x)=(4x-1)^7$
- $y=\sin(3x^2)$
Avanzados
- Diferenciación implícita: $x^3 + y^3 = 6xy$
- Optimizar: volumen de caja sin tapa con área de material fija
10. Proyección y continuidad
Las derivadas son la base del cálculo diferencial. El siguiente gran tema será el cálculo integral (antiderivadas, áreas, teorema fundamental del cálculo), que es la operación inversa de la derivación.
Preguntas abiertas: ¿qué ocurre cuando la derivada no existe? → continuidad vs diferenciabilidad, singularidades, etc.
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