Capítulo 1 — 3. Grupo de simetrías Aut(RD)
Sección 1.3: Simetría inherente
Definición 1.3.1: Grupo de simetrías de RD
Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1, \ |x| + |z| \le 1, \ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]
El grupo de simetrías \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) está formado por todas las transformaciones lineales \(T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) tales que: \[ T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}, \quad T \text{ es una isometría rígida (rotación o reflexión)}. \]
Esta definición establece formalmente qué significa “simetría” en el contexto del dodecaedro rómbico: cualquier transformación que mueva puntos dentro de \(\mathbb{R}^3\) sin deformar el sólido ni alterar su forma (solo rotaciones o reflejos) y que deje al dodecaedro exactamente en su lugar, pertenece al grupo de simetrías. En otras palabras, \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) captura todas las maneras de “mover” el sólido sin que se note ningún cambio geométrico.
Proposición 1.3.2: Transformaciones de permutación de coordenadas
Toda permutación de coordenadas define una simetría del dodecaedro rómbico \( \mathrm{RD} \). Es decir, para toda permutación \( \sigma \in S_3 \), la transformación
\[ T_\sigma : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \qquad T_\sigma(x,y,z) = (\sigma(x), \sigma(y), \sigma(z)) \]
satisface \[ T_\sigma(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}. \]
Demostración:
El grupo \(S_3\) actúa sobre el conjunto de índices \(\{1,2,3\}\), y por extensión sobre las coordenadas.
Si escribimos un vector como \[v=(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z),\] una permutación \(\sigma\in S_3\) define:
\[T_{\sigma}(v)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)}).\]
1. Veamos que \(T_{\sigma}\) es una transformación lineal:
Demostración:
Sean\[u=(u_1,u_2,u_3),\qquad v=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3.\]
(i) Aditividad
\[u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).\]
Aplicando \(T_{\sigma}\):
\[T_{\sigma}(u+v)=\big((u+v)_{\sigma(1)},(u+v)_{\sigma(2)},(u+v)_{\sigma(3)}\big).\]
Donde \((u+v)_{\sigma(i)}\) es la componente de \(u+v\) que se encontraba en la posición \(\sigma(i)\) antes de la permutación.
Ahora, esta componente es la suma de las componentes en la misma \(\sigma(i)\) - ésima posición de los vectores \(u\) y \( v\).
Por definición de suma componente a componente:
\[(u_{\sigma(1)}+v_{\sigma(1)},\;u_{\sigma(2)}+v_{\sigma(2)},\;u_{\sigma(3)}+v_{\sigma(3)}).\]
Separando términos:
\[(u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)},u_{\sigma(3)})+(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},v_{\sigma(3)})=T_{\sigma}(u)+T_{\sigma}(v).\]
✔ Se cumple la aditividad.
(ii) Homogeneidad
Sea \(\lambda\in\mathbb{R}\). Entonces:
\[\lambda u=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3).\]
Aplicando \(T_{\sigma}\):
\[ T_{\sigma}(\lambda u) =(\lambda u_{\sigma(1)},\lambda u_{\sigma(2)},\lambda u_{\sigma(3)}) =\lambda(u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)},u_{\sigma(3)}) =\lambda T_{\sigma}(u). \]
✔ Se cumple la homogeneidad.
Conclusión
\(T_{\sigma}\) es una transformación lineal.
Además, su matriz respecto a la base canónica es una matriz de permutación, con exactamente un \(1\) en cada fila y columna y ceros en el resto.
2. Biyectividad de \(T_{\sigma}\)
Una función \[T:X\to X\] es biyectiva si existe \[T^{-1}:X\to X\] tal que:
\[T^{-1}\circ T=\mathrm{Id},\qquad T\circ T^{-1}=\mathrm{Id}.\]
En efecto
Toda permutación \(\sigma\in S_3\) posee una permutación inversa \(\sigma^{-1}\in S_3\) tal que:
\[\sigma^{-1}\circ\sigma=\mathrm{Id}.\]
Veamos:
- Definición de \(S_3\):
\(S_3\) es el grupo de todas las permutaciones de 3 elementos, por ejemplo \(\{1,2,3\}\). Cada \(\sigma \in S_3\) es una función biyectiva \(\sigma: \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\). - Biyectividad implica inverso:
Por definición, toda función biyectiva \(f: X \to X\) tiene un inverso \(f^{-1}: X \to X\) tal que\[f^{-1} \circ f = \mathrm{Id} \quad \text{y} \quad f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}.\]
Esto es un hecho general de teoría de funciones. - Aplicación a permutaciones:
Como \(\sigma \in S_3\) es biyectiva, existe \(\sigma^{-1}: \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\) que "deshace" la acción de \(\sigma\). Para todo \(i \in \{1,2,3\}\) se cumple:\[(\sigma^{-1} \circ \sigma)(i) = \sigma^{-1}(\sigma(i)) = i.\]
Esto coincide con la definición de la permutación identidad \(\mathrm{Id}\). - Conclusión:
Cada permutación \(\sigma \in S_3\) posee un inverso \(\sigma^{-1} \in S_3\) tal que\[\sigma^{-1} \circ \sigma = \mathrm{Id}.\]
Definamos:
\[T_{\sigma^{-1}}(x_1,x_2,x_3)=(x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},x_{\sigma^{-1}(3)}).\]
Recordemos que:
\[T_{\sigma}(v)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)}).\]
Entonces, para todo \[v=(x_1,x_2,x_3),\] se cumple:
\[T_{\sigma^{-1}}(T_{\sigma}(v)) =(x_{\sigma(\sigma^{-1}(1))},x_{\sigma(\sigma^{-1}(2))},x_{\sigma(\sigma^{-1}(3))}) =(x_1,x_2,x_3)=v. \]
Análogamente:
\[ T_{\sigma}(T_{\sigma^{-1}}(v))=v. \]
Por lo tanto, \(T_{\sigma}\) es biyectiva.
3. \(T_{\sigma}\) es una isometría
Sea \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) una aplicación. Recordemos que \(T\) es una isometría si preserva la distancia euclidiana, es decir, para cualesquiera puntos \(p,q \in \mathbb{R}^3\) se cumple:
\[ \|T(p) - T(q)\| = \|p - q\|. \]
En particular, \(T\) preserva la norma de los vectores. Tomando \(q = 0\), se obtiene para todo \(v \in \mathbb{R}^3\):
\[ \|T(v)\| = \|v\|. \]
Ahora, sea
\[v=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3.\]
La norma euclídea es:
\[ \|v\|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2. \]
Aplicando \(T_{\sigma}\):
\[ T_{\sigma}(v)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)}). \]
Entonces:
\[ \|T_{\sigma}(v)\|^2 =x_{\sigma(1)}^2+x_{\sigma(2)}^2+x_{\sigma(3)}^2. \]
Como \(\sigma\) es solo una reordenación de índices:
\[ \|T_{\sigma}(v)\|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\|v\|^2. \]
Tomando raíces:
\[\|T_{\sigma}(v)\|=\|v\|\]
Así que:
\[\|T_{\sigma}(u) - T_{\sigma}(v)\| = \|T_{\sigma}(u-v)\| = \|u-v\|\]
Por la proposición Proposición 1.2.4 \(T_{\sigma}\) es una isometría.
Conclusión final
Hemos demostrado formalmente que:
\(T_{\sigma}\) es lineal.
\(T_{\sigma}\) es biyectiva, con inversa \(T_{\sigma^{-1}}\).
\(T_{\sigma}\) preserva la norma euclídea, luego es isométrica.
Por tanto, \[ T_{\sigma}\in O(3) \] y es una simetría geométrica legítima.
Invariancia de las desigualdades definitorias
Sea \[ p = (x,y,z) \in \mathrm{RD}. \]
Por definición:
\[ |x| + |y| \le 1, \qquad |x| + |z| \le 1, \qquad |y| + |z| \le 1. \tag{1} \]
Definamos
\[ p' = T_\sigma(p) = (\sigma(x), \sigma(y), \sigma(z)). \]
Consideremos cualquiera de las desigualdades que definen \( \mathrm{RD} \), por ejemplo:
\[ |u| + |v| \le 1, \]
donde \( \{u,v\} \subset \{x,y,z\} \).
Tras aplicar \( T_\sigma \), dicha desigualdad se transforma en
\[ |\sigma(u)| + |\sigma(v)| \le 1. \]
Pero como \( \sigma \) es una permutación, el par ordenado \( (\sigma(u), \sigma(v)) \) coincide con alguno de los pares
\[ (x,y), \quad (x,z), \quad (y,z). \]
Por tanto, la desigualdad resultante pertenece exactamente al conjunto de desigualdades en (1), todas las cuales son satisfechas por \( p \).
Luego:
\[ p \in \mathrm{RD} \;\Longrightarrow\; T_\sigma(p) \in \mathrm{RD}. \]
Esto prueba la inclusión:
\[ T_\sigma(\mathrm{RD}) \subseteq \mathrm{RD}. \tag{2} \]
Inclusión inversa mediante invertibilidad
Como \( \sigma \in S_3 \), existe su inversa \( \sigma^{-1} \in S_3 \), y por el mismo razonamiento aplicado arriba:
\[ T_{\sigma^{-1}}(\mathrm{RD}) \subseteq \mathrm{RD}. \]
Aplicando \( T_\sigma \) a ambos lados:
\[ \mathrm{RD} \subseteq T_\sigma(\mathrm{RD}). \tag{3} \]
Conclusión
De (2) y (3) se obtiene la igualdad de conjuntos:
\[ T_\sigma(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}. \]
Por lo tanto, toda permutación de coordenadas define una simetría exacta del dodecaedro rómbico.
Toda permutación de coordenadas es una simetría de \( \mathrm{RD} \). ∎
Esta proposición muestra que simplemente intercambiar las coordenadas \(x, y, z\) del dodecaedro rómbico no cambia su forma ni su posición relativa en el espacio. Cada permutación de coordenadas es una manera “legal” de mover el sólido sin alterar su geometría, y por eso estas transformaciones son simetrías del dodecaedro.
Proposición 1.3.3: Simetrías por cambio de signo
Sea \( \mathrm{RD} \subset \mathbb{R}^3 \) el dodecaedro rómbico definido por
\[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x|+|y|\le 1,\; |x|+|z|\le 1,\; |y|+|z|\le 1 \right\}. \]
Para cualquier elección de signos \[ \varepsilon = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\in\{\pm1\}^3, \]
la transformación \[ S_{\varepsilon}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad S_{\varepsilon}(x,y,z)=(\varepsilon_1 x,\varepsilon_2 y,\varepsilon_3 z) \]
es una simetría de \( \mathrm{RD} \), es decir: \[ S_{\varepsilon}(\mathrm{RD})=\mathrm{RD}. \]
Demostración:
Linealidad de \( S_{\varepsilon} \)
Sean \[ u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{R}^3. \]
(i) Aditividad
\[ u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). \]
Aplicamos \( S_{\varepsilon} \):
\[ S_{\varepsilon}(u+v)= (\varepsilon_1(x_1+x_2),\; \varepsilon_2(y_1+y_2),\; \varepsilon_3(z_1+z_2)). \]
Usando la distributividad del producto real:
\[ (\varepsilon_1 x_1+\varepsilon_1 x_2,\; \varepsilon_2 y_1+\varepsilon_2 y_2,\; \varepsilon_3 z_1+\varepsilon_3 z_2). \]
Reagrupando:
\[ (\varepsilon_1 x_1,\varepsilon_2 y_1,\varepsilon_3 z_1) + (\varepsilon_1 x_2,\varepsilon_2 y_2,\varepsilon_3 z_2) = S_{\varepsilon}(u)+S_{\varepsilon}(v). \]
✔ Se cumple la aditividad.
(ii) Homogeneidad
Sea \(\lambda\in\mathbb{R}\). Entonces:
\[ \lambda u=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1). \]
Aplicamos \( S_{\varepsilon} \):
\[ S_{\varepsilon}(\lambda u)= (\varepsilon_1\lambda x_1,\varepsilon_2\lambda y_1,\varepsilon_3\lambda z_1). \]
Factorizando \(\lambda\):
\[ \lambda(\varepsilon_1 x_1,\varepsilon_2 y_1,\varepsilon_3 z_1) =\lambda S_{\varepsilon}(u). \]
✔ Se cumple la homogeneidad.
Como se satisfacen aditividad y homogeneidad, \(S_{\varepsilon}\) es una transformación lineal.
Además, su matriz respecto a la base canónica es diagonal:
\[ [S_{\varepsilon}]= \begin{pmatrix} \varepsilon_1 & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_2 & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_3 \end{pmatrix}. \]
Biyectividad de \( S_{\varepsilon} \)
Sea \(p=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\). Aplicamos \( S_{\varepsilon} \) dos veces:
\[ S_{\varepsilon}(S_{\varepsilon}(p)) =S_{\varepsilon}(\varepsilon_1 x,\varepsilon_2 y,\varepsilon_3 z). \]
Por definición:
\[(\varepsilon_1^2 x,\varepsilon_2^2 y,\varepsilon_3^2 z).\]
Como \(\varepsilon_i\in\{\pm1\}\), se cumple: \(\varepsilon_i^2=1\)
Luego:
\[ S_{\varepsilon}(S_{\varepsilon}(p))=(x,y,z)=p. \]
Esto demuestra que:
\[ S_{\varepsilon}\circ S_{\varepsilon}=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^3}. \]
Por definición de inversa:
\[ S_{\varepsilon}^{-1}=S_{\varepsilon}. \]
Así que:
\( S_{\varepsilon} \) es invertible, su inversa coincide consigo misma, de modo que es biyectiva.
Veamos ahora que \( S_{\varepsilon} \) es una isometría
\( S_{\varepsilon} \) preserva la norma euclídea, pues:
\[\|S_{\varepsilon}(x,y,z)\|^2 =(\varepsilon_1 x)^2+(\varepsilon_2 y)^2+(\varepsilon_3 z)^2 =x^2+y^2+z^2 = \|(x,y,z)\|^2\]
Luego, \( S_{\varepsilon} \) es una isometría.
Estas propiedades aseguran que \( S_{\varepsilon} \) es una candidata válida a simetría geométrica; resta verificar que preserva \( \mathrm{RD} \).
Invariancia del valor absoluto
Sea \( u\in\mathbb{R} \) y \( \varepsilon=\pm1 \). Se cumple la identidad elemental:
\[ |\varepsilon u|=|u|. \tag{1} \]
Esta igualdad es exacta y es el único hecho analítico que se usará en la prueba.
Preservación de las desigualdades
Sea \(p=(x,y,z)\in\mathrm{RD}\).
Por definición:
\[ |x|+|y|\le1,\qquad |x|+|z|\le1,\qquad |y|+|z|\le1. \tag{2} \]
Definamos \[ p' = S_{\varepsilon}(p)=(\varepsilon_1 x,\varepsilon_2 y,\varepsilon_3 z). \]
Consideremos la primera desigualdad:
\[ |\varepsilon_1 x|+|\varepsilon_2 y|. \]
Aplicando (1):
\[ |\varepsilon_1 x|+|\varepsilon_2 y| =|x|+|y|\le1. \]
Análogamente:
\[ |\varepsilon_1 x|+|\varepsilon_3 z|=|x|+|z|\le1, \]
\[ |\varepsilon_2 y|+|\varepsilon_3 z|=|y|+|z|\le1. \]
Por lo tanto, \( p' \) satisface todas las desigualdades que definen \( \mathrm{RD} \). Concluimos:
\[ p\in\mathrm{RD}\;\Longrightarrow\; S_{\varepsilon}(p)\in\mathrm{RD}. \]
Esto prueba la inclusión:
\[ S_{\varepsilon}(\mathrm{RD})\subseteq\mathrm{RD}. \tag{3} \]
Inclusión inversa
Como \( S_{\varepsilon} \) es biyectiva y \( S_{\varepsilon}^{-1}=S_{\varepsilon} \), el mismo razonamiento da:
\[ S_{\varepsilon}^{-1}(\mathrm{RD})\subseteq\mathrm{RD}. \]
Aplicando \( S_{\varepsilon} \) a ambos lados:
\[ \mathrm{RD}\subseteq S_{\varepsilon}(\mathrm{RD}). \tag{4} \]
Conclusión
De (3) y (4) se deduce:
\[ S_{\varepsilon}(\mathrm{RD})=\mathrm{RD}. \]
Por lo tanto, cualquier cambio independiente de signo en las coordenadas preserva exactamente el dodecaedro rómbico.
Todo cambio de signo de coordenadas es una simetría de \( \mathrm{RD} \). ■
Corolario 1.3.4: Grupo de simetrías completo del dodecaedro rómbico
Sea \(\mathrm{RD} \subset \mathbb{R}^3\) el dodecaedro rómbico definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\big|\; |x|+|y|\le 1,\; |x|+|z|\le 1,\; |y|+|z|\le 1 \right\}. \] Entonces, el conjunto de todas las isometrías lineales que preservan \(\mathrm{RD}\) tiene exactamente \[ 3!\cdot 2^3 = 48 \] elementos y forma un grupo finito con la composición de funciones, denominado el grupo de simetrías (o automorfismos) del dodecaedro rómbico, que se denota por \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\).
Demostración:
Recordemos, por los resultados previos, que las simetrías lineales naturales de \(\mathrm{RD}\) se obtienen a partir de dos tipos de transformaciones en \(\mathbb{R}^3\):
1. Permutaciones de coordenadas.
Para toda permutación \(\sigma \in S_3\), definimos la transformación
\[
P_\sigma(x,y,z) := (x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}),
\]
donde \((x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)\).
Las desigualdades que definen \(\mathrm{RD}\) son completamente simétricas en las variables \(x,y,z\). Por tanto, al permutar las coordenadas, el sistema \[ |x|+|y|\le 1,\quad |x|+|z|\le 1,\quad |y|+|z|\le 1 \] se transforma en sí mismo. De aquí se deduce que \[ P_\sigma(\mathrm{RD})=\mathrm{RD} \] para toda \(\sigma \in S_3\).
Como el grupo simétrico \(S_3\) tiene \(3!=6\) elementos, existen exactamente \(6\) permutaciones de coordenadas que preservan \(\mathrm{RD}\).
2. Cambios de signo.
Sea \(\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\), con \(\varepsilon_i\in\{\pm1\}\), y consideremos la transformación lineal
\[
S_\varepsilon(x,y,z):=(\varepsilon_1 x,\varepsilon_2 y,\varepsilon_3 z).
\]
Como las condiciones que definen \(\mathrm{RD}\) dependen únicamente de valores absolutos, se cumple \[ |\,\varepsilon_i x\,| = |x| \quad \text{para todo } \varepsilon_i\in\{\pm1\}. \] En consecuencia, \[ S_\varepsilon(\mathrm{RD})=\mathrm{RD} \] para toda elección de signos \(\varepsilon\).
Existen exactamente \(2^3=8\) elecciones posibles del vector de signos \(\varepsilon\).
3. Composición de ambas clases.
Toda composición de una permutación de coordenadas con un cambio de signo es nuevamente una transformación lineal invertible que preserva \(\mathrm{RD}\). Además, cualquier transformación obtenida de esta forma es distinta, pues una permutación fija la posición de las coordenadas y el vector de signos fija su orientación.
Por el principio multiplicativo, el número total de transformaciones distintas así obtenidas es \[ 3!\cdot 2^3 = 6\cdot 8 = 48. \]
Estructura de grupo
Consideremos el conjunto \(\mathcal{G}\) de todas las transformaciones lineales \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) que preservan el dodecaedro rómbico \(\mathrm{RD}\), es decir,
\[ T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}. \]
Estas transformaciones se obtienen mediante permutaciones de las coordenadas combinadas con cambios de signo compatibles, y corresponden exactamente a isometrías lineales de \(\mathbb{R}^3\). Demostraremos que \(\mathcal{G}\) es un grupo bajo la composición de funciones.
1. Existencia del elemento identidad
La transformación identidad
\[ \mathrm{Id}(x,y,z) = (x,y,z) \]
corresponde a la permutación trivial de las coordenadas junto con signos positivos. Claramente, \(\mathrm{Id}\) es lineal, es una isometría, y satisface \(\mathrm{Id}(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}\).
Por lo tanto, \(\mathrm{Id} \in \mathcal{G}\).
2. Clausura bajo la composición
Sean \(T_1, T_2 \in \mathcal{G}\). Entonces:
- \(T_1\) y \(T_2\) son transformaciones lineales.
- \(T_1\) y \(T_2\) son isometrías.
- \(T_1(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}\) y \(T_2(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}\).
La composición \(T_1 \circ T_2\) es nuevamente una transformación lineal e isométrica, pues la composición de isometrías es una isometría. Además,
\[ (T_1 \circ T_2)(\mathrm{RD}) = T_1(T_2(\mathrm{RD})) = T_1(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}. \]
Por consiguiente, \(T_1 \circ T_2 \in \mathcal{G}\), y el conjunto es cerrado bajo la composición.
3. Existencia de inversos
Sea \(T \in \mathcal{G}\). Como \(T\) es una isometría lineal, es biyectiva y posee una inversa lineal \(T^{-1}\), que también es una isometría.
Además, de la igualdad \(T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}\) se deduce inmediatamente que
\[ T^{-1}(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}. \]
Geométricamente, la inversa corresponde a la permutación inversa de coordenadas, acompañada de los signos adecuados. Por tanto,
\[ T^{-1} \in \mathcal{G}. \]
4. Asociatividad de la composición
La composición de funciones es asociativa en general. Es decir, para cualesquiera \(T_1, T_2, T_3 \in \mathcal{G}\) se cumple:
\[ (T_1 \circ T_2) \circ T_3 = T_1 \circ (T_2 \circ T_3). \]
Esta propiedad no requiere demostración adicional, pues es inherente a la definición de composición de aplicaciones.
Conclusión
Hemos probado que el conjunto \(\mathcal{G}\):
- contiene el elemento identidad,
- es cerrado bajo la composición,
- contiene el inverso de cada uno de sus elementos,
- tiene una operación asociativa.
Por lo tanto, \(\mathcal{G}\) es un grupo finito bajo la composición de funciones.
Este grupo coincide con el conjunto de todas las isometrías lineales que preservan el dodecaedro rómbico \(\mathrm{RD}\), y se denomina el grupo de simetrías del dodecaedro rómbico, que denotamos por
\[ \mathrm{Aut}(\mathrm{RD}). \]
Esto concluye la demostración.
Corolario 1.3.5: Consecuencias combinatorias
• Todos los vértices cúbicos son equivalentes bajo \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\).
• Todos los vértices axiales son equivalentes entre sí.
• Todas las caras son congruentes y permutables mediante simetrías.
• Todas las aristas son equivalentes bajo alguna simetría.
Demostración:
Preliminar — Hechos ya demostrados
Recordemos que \(\mathrm{RD} \subset \mathbb{R}^3\) está definido por \[ |x|+|y|\le 1,\quad |x|+|z|\le 1,\quad |y|+|z|\le 1. \]
El grupo \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) contiene:
• todas las permutaciones de coordenadas \(T_\sigma\),
• todos los cambios de signo \(S_\varepsilon\).
Toda transformación de ese tipo:
• es lineal,
• es isométrica,
• preserva exactamente el conjunto \(\mathrm{RD}\).
1. Todos los vértices cúbicos son equivalentes
Identificación de los vértices cúbicos
Los vértices cúbicos de \(\mathrm{RD}\) son \[ (\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12), \] con todas las combinaciones de signos (8 en total).
Todos tienen la forma \[ v=(\varepsilon_1 a,\varepsilon_2 a,\varepsilon_3 a),\quad a=\tfrac12,\quad \varepsilon_i\in\{\pm1\}. \]
Demostración de equivalencia:
Sean \[ v=(\varepsilon_1 a,\varepsilon_2 a,\varepsilon_3 a),\quad v'=(\varepsilon'_1 a,\varepsilon'_2 a,\varepsilon'_3 a). \]
Definimos la transformación \[ S_\varepsilon(x,y,z)=(\varepsilon'_1\varepsilon_1 x,\;\varepsilon'_2\varepsilon_2 y,\;\varepsilon'_3\varepsilon_3 z). \]
Entonces \[ S_\varepsilon(v)=(\varepsilon'_1 a,\varepsilon'_2 a,\varepsilon'_3 a)=v'. \]
Como \(S_\varepsilon\in\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\), existe una simetría que envía cualquier vértice cúbico a cualquier otro.
Los vértices cúbicos forman una sola órbita.
2. Todos los vértices axiales son equivalentes entre sí
Identificación de los vértices axiales
Los vértices axiales son \[ (\pm1,0,0),\quad(0,\pm1,0),\quad(0,0,\pm1), \] en total 6.
Demostración de equivalencia
Tomemos \[ v=(1,0,0),\quad v'=(0,-1,0). \]
Aplicamos la permutación \(\sigma=(123)\): \[ T_\sigma(1,0,0)=(0,1,0). \]
Luego aplicamos el cambio de signo \(S_{(1,-1,1)}\): \[ S(0,1,0)=(0,-1,0)=v'. \]
Ambas transformaciones pertenecen a \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\).
Los vértices axiales forman una sola órbita.
3. Todas las caras son congruentes y permutables
Identificación de las caras
Cada cara de \(\mathrm{RD}\) viene dada por una ecuación del tipo \[ \pm x\pm y=1,\quad \pm x\pm z=1,\quad \pm y\pm z=1. \]
Cada una es un rombo plano congruente.
Congruencia
Todas las simetrías de \(\mathrm{RD}\) son isometrías, por lo que preservan longitudes, ángulos y área. Por tanto, cualquier imagen de una cara bajo \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) es congruente a la original (Proposición 1.2.4).
Permutabilidad (transitividad)
Sean \[ F_1:\;x+y=1,\quad F_2:\;y-z=1. \]
Una permutación de coordenadas lleva \(x+y=1\) a \(y+z=1\), y un cambio de signo convierte \(y+z=1\) en \(y-z=1\).
Ambos pasos pertenecen a \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\). El grupo de simetrías actúa transitivamente sobre las caras.
4. Todas las aristas son equivalentes
Identificación estructural de una arista
Una arista es la intersección de dos caras adyacentes, por ejemplo \[ x+y=1,\quad x+z=1. \]
Afirmación.
Toda arista del dodecaedro rómbico conecta un vértice cúbico con un vértice axial, tiene la misma longitud y está contenida en exactamente dos caras.
Demostración.
Sea \(\mathrm{RD}\) el dodecaedro rómbico y sean \(e_1, e_2 \subset \mathrm{RD}\) dos aristas cualesquiera. Por la estructura combinatoria de \(\mathrm{RD}\), toda arista conecta exactamente un vértice cúbico con un vértice axial.
Consideremos una simetría \[ T \in \mathrm{Aut}(\mathrm{RD}), \] es decir, una isometría lineal tal que \(T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}\). El grupo de simetrías actúa transitivamente sobre el conjunto de aristas; por lo tanto, existe una única transformación \(T\) tal que
\[ T(e_1) = e_2. \]
Como \(T\) es una isometría, preserva distancias y tipos de vértices. En consecuencia:
- el vértice cúbico extremo de \(e_1\) se envía al vértice cúbico extremo de \(e_2\),
- el vértice axial extremo de \(e_1\) se envía al vértice axial extremo de \(e_2\),
- y el segmento completo \(e_1\) se transporta en su totalidad sobre \(e_2\).
Además, como toda simetría del poliedro preserva incidencias, la imagen de una arista es nuevamente una arista, y la imagen de una intersección de dos caras es la intersección de las caras imagen. Por lo tanto, \(e_2\) está contenida exactamente en dos caras, al igual que \(e_1\).
Finalmente, como \(T\) es una isometría, todas las aristas tienen la misma longitud. Concluimos que todas las aristas pertenecen a una única órbita bajo la acción del grupo de simetrías \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\).
Esto demuestra que todas las aristas del dodecaedro rómbico son geométrica y combinatoriamente equivalentes.
Conclusión global
El grupo \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) actúa transitivamente sobre los vértices cúbicos, los vértices axiales, las caras y las aristas.
En términos geométricos fuertes, \(\mathrm{RD}\) es altamente homogéneo bajo sus simetrías.
✅ Conclusión del subpunto:
- \(\mathrm{RD}\) posee simetría completa de permutaciones y cambios de signo
- Todas las entidades combinatorias (vértices, aristas, caras) son equivalentes dentro de su clase
- El grupo de simetrías finito \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) tiene 48 elementos y está completamente determinado por la definición formal
- Esto será crucial para definir clases de equivalencia de vértices, aristas y caras, y más adelante para las condiciones de compatibilidad estructural del teselado
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