Capítulo 2 — 1. Definición del conjunto de poliedros P\mathcal{P}

Sección 2.1

2.1.1 Definición: Acción de un grupo sobre un conjunto.

Sea \((G,*)\) un grupo con elemento neutro \(e\), y sea \(X\) un conjunto no vacío. Una acción de \(G\) sobre \(X\) es una aplicación

\[\Phi : G \times X \longrightarrow X, \qquad (g,x)\longmapsto g\cdot x,\]

tal que se satisfacen las siguientes propiedades fundamentales:

(i) Compatibilidad con la operación del grupo.

Para todos \(g,h\in G\) y todo \(x\in X\),

\[\Phi(g*h,x) = \Phi(g,\Phi(h,x))\]

(ii) Identidad.

Para todo \(x\in X\),

\[\Phi(e,x) = x\]

Ejemplo: Acción del grupo de simetrías del cuadrado sobre sus vértices.

Sea \(G = D_4\) el grupo diedral de orden \(8\), es decir, el grupo de todas las isometrías del plano que dejan invariante un cuadrado centrado en el origen. La operación en \(G\) es la composición de funciones.

Consideremos el cuadrado centrado en el origen de \(\mathbb{R}^2\) cuyos vértices son

\[\begin{aligned} v_1 &= (1,0),\\ v_2 &= (0,1),\\ v_3 &= (-1,0),\\ v_4 &= (0,-1), \end{aligned} \]

numerados en sentido antihorario. Definimos el conjunto

\[X = \{v_1, v_2, v_3, v_4\}\]

Cada elemento \(g \in D_4\) es una isometría del plano y, en particular, una función \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) que envía vértices del cuadrado en vértices del cuadrado.

Definimos una aplicación \[ \cdot : D_4 \times X \longrightarrow X, \qquad (g, v) \longmapsto g \cdot v := g(v), \] es decir, la acción está dada por la evaluación de la isometría \(g\) en el punto \(v\).

Ejemplo explícito: la rotación de \(90^\circ\).

Sea \(r \in D_4\) la rotación de \(90^\circ\) en sentido antihorario alrededor del origen. Como transformación lineal, \(r\) está dada por

\[r(x,y) = (-y,x)\]

Calculamos explícitamente la acción de \(r\) sobre los vértices del cuadrado:

\[ \begin{aligned} r \cdot v_1 &= r(1,0) = (0,1) = v_2,\\ r \cdot v_2 &= r(0,1) = (-1,0) = v_3,\\ r \cdot v_3 &= r(-1,0) = (0,-1) = v_4,\\ r \cdot v_4 &= r(0,-1) = (1,0) = v_1. \end{aligned} \]

De este modo, la igualdad \(r \cdot v_1 = v_2\) no es una convención, sino el resultado directo de aplicar una transformación geométrica concreta.

Verificación de los axiomas de acción de grupo.

(A1) Identidad: Sea \(e \in D_4\) la identidad. Como \(e(v)=v\) para todo punto del plano, se tiene

\[e \cdot v = v \quad \text{para todo } v \in X\]

(A2) Compatibilidad con la composición: Sean \(g,h \in D_4\) y \(v \in X\). Entonces

\[(gh) \cdot v = (gh)(v) = g(h(v)) = g \cdot (h \cdot v)\]

pues la operación en \(D_4\) es la composición de funciones.

Por lo tanto, la aplicación definida es una acción de grupo de \(D_4\) sobre el conjunto de vértices \(X\).

Órbitas.

La órbita de cualquier vértice \(v_i\) es todo el conjunto \(X\), ya que para cualesquiera \(v_i, v_j \in X\) existe una simetría del cuadrado que envía \(v_i\) en \(v_j\).

En consecuencia, la acción es transitiva.

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Definición 2.1.2: Espacio topológico.

Sea \(X\) un conjunto no vacío. Un espacio topológico es un par \[ (X,\mathcal{T}), \] donde \(\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)\) es una familia de subconjuntos de \(X\), llamada topología, que satisface las siguientes propiedades:

(T1) Conjuntos triviales.
El conjunto vacío y el conjunto total pertenecen a la topología: \[ \varnothing \in \mathcal{T}, \qquad X \in \mathcal{T}. \]

(T2) Estabilidad por uniones arbitrarias.
Si \(\{U_i\}_{i\in I}\) es una familia cualquiera de conjuntos de \(\mathcal{T}\), entonces \[ \bigcup_{i\in I} U_i \in \mathcal{T}. \]

(T3) Estabilidad por intersecciones finitas.
Si \(U_1,\dots,U_n \in \mathcal{T}\), entonces \[ \bigcap_{k=1}^n U_k \in \mathcal{T}. \]

Los elementos de \(\mathcal{T}\) se llaman conjuntos abiertos, y los subconjuntos de \(X\) que no pertenecen a \(\mathcal{T}\) se consideran no abiertos.

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Definición 2.1.3: Acción de un grupo por homeomorfismos.

Sea \((G,*)\) un grupo y sea \(X\) un espacio topológico. Decimos que \(G\) actúa sobre \(X\) mediante homeomorfismos si existe una aplicación

\[ \Phi : G \times X \longrightarrow X, \qquad (g,x) \longmapsto g \cdot x, \]

tal que se cumplen las siguientes condiciones:

(A1) Acción de grupo.
Para todo \(x \in X\) y para todos \(g,h \in G\),

\[ \Phi(e,x) = x, \qquad \Phi(g*h,x) = \Phi(g,\Phi(h,x))\, \]

donde \(e\) es el elemento identidad de \(G\).

(A2) Regularidad topológica.
Para cada \(g \in G\), la aplicación

\[ \varphi_g : X \longrightarrow X, \qquad \varphi_g(x) = g \cdot x, \]

es un homeomorfismo de \(X\); es decir:

– \(\varphi_g\) es continua,
– es biyectiva,
– su inversa \(\varphi_g^{-1} = \varphi_{g^{-1}}\) es continua.

En este caso decimos que \(G\) actúa sobre \(X\) por homeomorfismos.

Definición 2.1.4: Acción por isometrías.

Sea \((X,d)\) es un espacio métrico con distancia \(d\), decimos que la acción es por isometrías si, para todo \(g \in G\),

\[ d(\Phi(g,x),\; \Phi(g,y)) = d(x,y) \qquad \forall x,y \in X. \]

Toda isometría es en particular un homeomorfismo.

Ejemplo: Acción de \(\mathbb{Z}\) sobre \(\mathbb{R}\) por traslaciones.

Sea \(G = \mathbb{Z},\) con la suma usual y sea \(X = \mathbb{R}\) con su topología usual (y su métrica euclídea).

Definimos la acción:

\[\Phi : \mathbb{Z} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \]

\[\Phi (n,x) = x + n, \qquad n \in \mathbb{Z},\ x \in \mathbb{R}\]

Verificación de los axiomas.

(A1) Identidad.

El elemento identidad de \(\mathbb{Z}\) es \(0\). Entonces:

\[\Phi (0,x) = x + 0 = x\]

(A2) Compatibilidad.

Para \(m,n \in \mathbb{Z}\),

\[\Phi(m+n,x) = x + (m+n) = x + (n+m)= (x + n) + m = \Phi (n,x) + m = \Phi (m,\Phi (n,x))\]

(A3) Homeomorfismo.

Para cada \(n\), la aplicación

\[\varphi_n(x) = x+n\]

es continua, biyectiva, y su inversa es\(\varphi_{-n}(x) = x-n\), que también es continua.

En efecto:

Probamos primero que \(\varphi_n\) es continua en el sentido topológico. Sea \(U \subseteq \mathbb{R}\) un conjunto abierto. Consideremos su preimagen:

\[\varphi_n^{-1}(U) = \{x \in \mathbb{R} \mid \varphi_n(x) \in U\} =\{x \in \mathbb{R} \mid x+n \in U\} = \{u-n \mid u \in U\} = U-n\]

El conjunto \(U-n\) es un traslado de \(U\). Mostremos que \(U-n\) es abierto. Sea \(y \in U-n\). Entonces existe \(u \in U\) tal que \(y = u - n\).

Como \(U\) es abierto en \(\mathbb{R}\), existe \(\varepsilon > 0\) tal que

\[(u-\varepsilon,\,u+\varepsilon) \subseteq U\]

Restando \(n\) a todos los elementos de este intervalo, obtenemos

\[(u-\varepsilon-n,\,u+\varepsilon-n) \subseteq U-n\]

Pero \(y = u-n\), luego

\[(y-\varepsilon,\,y+\varepsilon) \subseteq U-n\]

Esto prueba que cada punto de \(U-n\) posee un intervalo abierto contenido en \(U-n\). Por lo tanto, \(U-n\) es abierto en \(\mathbb{R}\), y se concluye que \(\varphi_n\) es continua.

Mostramos ahora que \(\varphi_n\) es biyectiva. Sea \(y \in \mathbb{R}\). Existe un único \(x = y-n \in \mathbb{R}\) tal que

\[\varphi_n(x) = x+n = y\]

Esto prueba que \(\varphi_n\) es inyectiva y sobreyectiva. Su inversa está dada por

\[\varphi_n^{-1} = \varphi_{-n}, \qquad \varphi_{-n}(x) = x - n\]

Finalmente, aplicando el mismo razonamiento topológico que antes, se concluye que \(\varphi_{-n}\) es continua, ya que la preimagen de un abierto por \(\varphi_{-n}\) es un traslado de dicho abierto.

Concluimos que \(\varphi_n\) es continua, biyectiva y con inversa continua; por tanto, \(\varphi_n\) es un homeomorfismo de \(\mathbb{R}\).

Además,

\[d(\Phi(x,n),\Phi (n,y)) = d(n + x,n + y) = | (x+n) - (y+n) | = |x-y| = d(x,y)\]

por lo que la acción es por isometrías.

Así, \(\mathbb{Z}\) actúa sobre \(\mathbb{R}\) por homeomorfismos y por isometrías.

Definición 2.1.5: Dominio fundamental.

Sea \(G\) un grupo que actúa sobre un espacio topológico \(X\) mediante homeomorfismos (o isometrías, en el caso métrico). Un subconjunto \(F\subset X\) se llama un dominio fundamental para la acción de \(G\) sobre \(X\) si satisface las siguientes propiedades:

(i) Exhaustividad.

\[X \;=\; \bigcup_{g\in G} \Phi(g,F)\]

(ii) No solapamiento interior.

Para todo \(g\in G\) distinto de la identidad,

\[\operatorname{int}(F)\cap \operatorname{int}(\Phi(g,F))=\varnothing\]

(iii) Representación esencialmente única.

Todo punto \(x\in X\) pertenece a la clausura de exactamente una traslación \(g(F)\), salvo quizá por puntos situados en las fronteras.

Ejemplo:

El intervalo

\[F = [0,1)\]

es un dominio fundamental para la acción de \(\mathbb{Z}\) sobre \(\mathbb{R}\).

En efecto:

DF1: exhaustividad.

Sea \(x \in X = \mathbb{R}\).

Existe un único entero \(n = \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}\) tal que \(n \le x \lt n+1\), es decir, \(n + 0 \le x \lt n+1\), o sea, \(x \in [0,1) + n\), queriendo decir con esto que \(x \in [0,1) + n = F + n = \Phi(n,F)\), lo cual implica que:

\[\mathbb{R} \;\subseteq\; \bigcup_{n\in \mathbb{Z}} \Phi(n,F)\]

Ahora, sea \(\displaystyle x \in \bigcup_{n\in \mathbb{Z}} \Phi(n,F)\). Luego, existe \(n \in \mathbb{Z}\) tal que \(x \in \Phi(n,F) \subset \mathbb{R}\).

En conclusión,

\[\mathbb{R} = \bigcup_{n\in \mathbb{Z}} \Phi(n,F)\]

DF2: no solapamiento de interiores.

El interior de \(F\) es \((0,1)\). Supongamos que existe \(n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) tal que

\[\operatorname{int}(F)\cap \operatorname{int}(\Phi(n,F))=\varnothing\]

Es decir,

\[(0,1) \cap (n,n+1) \neq \varnothing\]

Entonces existiría \(x\) con

\[0 \lt x \lt 1 \quad \text{y} \quad 0 \lt x - n \lt 1 \]

Esto implica \(n = 0\), lo cual es una contradicción.

Por tanto, los interiores de \(F\) y de sus traslados son disjuntos.

Concluimos que \(F = [0,1)\) es un dominio fundamental.

Teorema 2.1.6: RD es un dominio fundamental.

El dodecaedro rómbico RD es un dominio fundamental para la acción del grupo de traslaciones de la red cúbica \[\Lambda=\mathbb{Z}^3\] sobre el espacio euclídeo \(\mathbb{R}^3\).

Demostración.

Consideremos la acción de \(\Lambda\) sobre \(\mathbb{R}^3\) dada por traslaciones: \[ \lambda \cdot x = x + \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{Z}^3,\; x \in \mathbb{R}^3. \] Esta acción es libre y propiamente discontinua.

En efecto:

Por definición, una acción de un grupo \(G\) sobre un conjunto \(X\) es libre si ningún elemento distinto de la identidad fija puntos, es decir:

\[g \cdot x = x \;\Longrightarrow\; g = e\]

En nuestro caso, la identidad de \(\mathbb{Z}^3\) es el vector nulo \(0=(0,0,0)\)

Supongamos que existe \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) y \(x \in \mathbb{R}^3\) tales que:

\[\lambda \cdot x = x\]

Por definición de la acción, esto equivale a:

\[x + \lambda = x\]

Restando \(x\) en ambos lados de la igualdad, se obtiene:

\[\lambda = 0\]

Por lo tanto, el único elemento de \(\mathbb{Z}^3\) que fija algún punto de \(\mathbb{R}^3\) es la identidad.

Concluimos que la acción de \(\mathbb{Z}^3\) sobre \(\mathbb{R}^3\) es libre.

2. La acción es propiamente discontinua

Una acción de un grupo discreto \(G\) sobre un espacio topológico \(X\) es propiamente discontinua si para todo conjunto compacto \(K \subset X\) el conjunto:

\[\{\, g \in G \mid gK \cap K \neq \varnothing \,\}\]

es finito.

Sea entonces \(K \subset \mathbb{R}^3\) un conjunto compacto.

Supongamos que existe \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) tal que:

\[(K + \lambda) \cap K \neq \varnothing\]

Esto significa que existen puntos \(x,y \in K\) tales que:

\[x + \lambda = y\]

Veamos que esto es así:

Sea \(K \subset \mathbb{R}^3\) un conjunto cualquiera y sea \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\). Recordemos la definición del traslado de un conjunto:

\[K + \lambda := \{\, x + \lambda \mid x \in K \,\}\]

Supongamos que se cumple:

\[ (K + \lambda) \cap K \neq \varnothing. \]

Por definición de intersección no vacía, esto significa que:

\[\exists\, p \in \mathbb{R}^3 \quad \text{tal que} \quad p \in (K + \lambda) \;\text{y}\; p \in K\]

Pertenencia a \(K+\lambda\)

La condición \(p \in K + \lambda\) significa, por definición del traslado, que \(\exists\, x \in K \quad \text{tal que} \quad p = x + \lambda\).

Pertenencia a \(K\)

Al mismo tiempo, de \(p \in K\) se sigue simplemente que existe un punto de \(K\), llamémoslo \(y\), tal que \(y = p\).

Uniendo ambas descripciones del mismo punto \(p\), obtenemos:

\[x + \lambda = p = y, \qquad \text{con } x \in K \text{ y } y \in K\]

Es decir, existen puntos \(x,y \in K\) tales que:

\[x + \lambda = y\]

La igualdad anterior puede reescribirse como:

\[\lambda = y - x, \qquad \text{con } x,y \in K\]

Esto muestra que \(\lambda\) pertenece al conjunto de diferencias:

\[K - K := \{\, y - x \mid x,y \in K \,\}\]

La afirmación

\[(K + \lambda) \cap K \neq \varnothing\]

es equivalente a la existencia de puntos \(x,y \in K\) tales que:

\[x + \lambda = y\]

No se ha usado ninguna propiedad especial de \(K\), salvo la definición de traslado e intersección.

De aquí se deduce:

\[\lambda = y - x\]

Como \(x\) y \(y\) pertenecen al conjunto compacto \(K\), el conjunto de todas las diferencias:

\[K - K = \{y-x \mid x,y \in K\}\]

es un conjunto compacto y, en particular, acotado en \(\mathbb{R}^3\).

Por lo tanto, el vector entero \(\lambda = y-x\) debe pertenecer a un subconjunto acotado de \(\mathbb{R}^3\).

Pero el conjunto \(\mathbb{Z}^3\) es discreto, y un subconjunto acotado de \(\mathbb{R}^3\) contiene solo un número finito puntos de \(\mathbb{Z}^3\).

En consecuencia, existen solo un número finito de elementos \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) tales que:

\[(K + \lambda) \cap K \neq \varnothing\]

Esto prueba que la acción es propiamente discontinua.

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Conclusión:

La acción de la red cúbica \(\mathbb{Z}^3\) sobre \(\mathbb{R}^3\) por traslaciones es:

• libre, porque ninguna traslación no trivial fija puntos;
• propiamente discontinua, porque solo finitos traslados de un compacto pueden intersectarlo.

Estas propiedades garantizan que existen dominios fundamentales bien definidos para la acción, en particular el dodecaedro rómbico \(RD\).

Definimos el dodecaedro rómbico como el dominio de Voronoi del origen: \[ RD = V(0) = \left\{ x \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; \|x\| \le \|x-\lambda\| \;\; \forall \lambda \in \mathbb{Z}^3 \right\}. \]

Por definición de dominio de Voronoi, para todo punto \(x \in \mathbb{R}^3\) existe al menos un vector \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) tal que \(x-\lambda \in RD\). En efecto, basta elegir \(\lambda\) que minimice la distancia euclídea entre \(x\) y la red \(\mathbb{Z}^3\).

En efecto:

Sea \(x \in \mathbb{R}^3\) un punto arbitrario. Queremos justificar rigurosamente que existe un vector \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) tal que:

\[ x - \lambda \in RD, \]

donde el dodecaedro rómbico se define como el dominio de Voronoi del origen:

\[RD = \left\{ y \in \mathbb{R}^3\;\middle|\;\|y\| \le \|y-\mu\| \;\; \forall \mu \in \mathbb{Z}^3 \right\}.\]

Es decir, \(y = x-\lambda \in RD\) es lo mismo que \(\|y\| = \|x-\lambda\| \le \|x-\mu\| \qquad \forall \mu \in \mathbb{Z}^3\)

Luego, debemos demostrar que existe \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) tal que:

\[ \|x-\lambda\| \le \|x-\mu\| \qquad \forall \mu \in \mathbb{Z}^3. \]

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Para ello, consideremos la función:

\[ f : \mathbb{Z}^3 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad f(\mu) = \|x-\mu\|. \]

Nuestro objetivo es probar que esta función alcanza su mínimo. Obsérvese que el dominio \(\mathbb{Z}^3\) no es compacto, por lo que no podemos aplicar directamente el teorema de Weierstrass.

Sin embargo, usando la desigualdad triangular inversa obtenemos:

\[ \|x-\mu\| \ge \|\mu\| - \|x\|. \]

De aquí se deduce que:

\[ \|x-\mu\| \xrightarrow[\|\mu\|\to\infty]{} \infty. \]

En particular, si \(\|\mu\| > \|x\| + 1\), entonces \(\|x-\mu\| > 1\). Por otro lado, tomando \(\mu = 0\), se tiene:

\[ \|x-0\| = \|x\|. \]

Esto muestra que el mínimo de \(f\) no puede alcanzarse fuera de un conjunto acotado de \(\mathbb{Z}^3\).

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Fijemos un número real \(R > \|x\|\) y consideremos el conjunto:

\[ F_R = \{\mu \in \mathbb{Z}^3 \mid \|\mu\| \le R\}. \]

El conjunto \(F_R\) es finito, ya que \(\mathbb{Z}^3\) es una red discreta. Además, el mínimo global de \(f\) coincide con el mínimo de \(f\) restringido a \(F_R\).

En efecto:

Sea \( f : \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{R} \) la función definida por

\[ f(\mu) := \|x - \mu\| , \]

donde \( x \in \mathbb{R}^3 \) es un punto fijo. Para \( R > 0 \), definimos el conjunto

\[ F_R := \{ \mu \in \mathbb{Z}^3 : \|\mu\| \le R \}. \]

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1. Finitud del conjunto \( F_R \)

El conjunto \( \mathbb{Z}^3 \) es una red discreta en \( \mathbb{R}^3 \). Por lo tanto, la intersección de \( \mathbb{Z}^3 \) con cualquier conjunto acotado es finita.

Como la bola cerrada

\[ B_R := \{ y \in \mathbb{R}^3 : \|y\| \le R \} \]

es un conjunto acotado, se sigue que

\[ F_R = \mathbb{Z}^3 \cap B_R \]

es un conjunto finito.

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2. Reducción del mínimo global a \( F_R \)

Del resultado demostrado previamente, existe un número \( R_0 > 0 \) tal que para todo \( \mu \in \mathbb{Z}^3 \) con \( \|\mu\| > R_0 \) se cumple

\[ \|x - \mu\| > \|x\|. \]

En particular, esto implica que

\[ f(\mu) > \|x\| \quad \text{para todo } \mu \in \mathbb{Z}^3 \setminus F_{R_0}. \]

Por otro lado, el conjunto \( F_{R_0} \) es finito, y por tanto la función \( f \) alcanza un mínimo en \( F_{R_0} \); es decir, existe \( \mu_0 \in F_{R_0} \) tal que

\[ f(\mu_0) = \min_{\mu \in F_{R_0}} f(\mu). \]

Además, para todo \( \mu \notin F_{R_0} \) se tiene

\[ f(\mu) > \|x\| \ge f(\mu_0), \]

lo cual muestra que ningún punto fuera de \( F_{R_0} \) puede mejorar el valor mínimo obtenido dentro de \( F_{R_0} \).

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3. Conclusión

Se concluye que el mínimo global de \( f \) sobre \( \mathbb{Z}^3 \) coincide con el mínimo de \( f \) restringido al conjunto finito \( F_{R_0} \):

\[ \min_{\mu \in \mathbb{Z}^3} f(\mu) = \min_{\mu \in F_{R_0}} f(\mu). \]

Por ser \(F_R\) finito, existe un vector \(\lambda \in F_R\) tal que:

\[ \|x-\lambda\| = \min_{\mu \in F_R} \|x-\mu\| = \min_{\mu \in \mathbb{Z}^3} \|x-\mu\|. \]

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Por la definición del dominio de Voronoi, esta desigualdad implica inmediatamente que:

\[ x-\lambda \in RD. \]

Concluimos que para todo punto \(x \in \mathbb{R}^3\) existe al menos un \(\lambda \in \mathbb{Z}^3\) tal que \(x-\lambda\) pertenece al dodecaedro rómbico.

Esto implica que: \[ \bigcup_{\lambda \in \mathbb{Z}^3} (RD + \lambda) = \mathbb{R}^3. \]

Veamos ahora que los interiores de estas traslaciones son disjuntos. Supongamos que existe un punto \[ y \in \operatorname{int}(RD+\lambda_1)\cap \operatorname{int}(RD+\lambda_2), \qquad \lambda_1 \neq \lambda_2. \] Entonces \(y-\lambda_1\) y \(y-\lambda_2\) pertenecerían ambos al interior de \(RD\).

Pero esto contradice la definición de \(RD\) como conjunto de puntos estrictamente más cercanos al origen que a cualquier otro punto de la red. Por tanto, \[ \operatorname{int}(RD+\lambda_1)\cap \operatorname{int}(RD+\lambda_2)=\varnothing \quad \text{si } \lambda_1\neq\lambda_2. \]

Finalmente, los puntos de intersección entre distintos traslados de \(RD\) se encuentran únicamente en sus fronteras, las cuales tienen medida nula en \(\mathbb{R}^3\).

Concluimos que \(RD\) cubre \(\mathbb{R}^3\) mediante traslaciones por \(\mathbb{Z}^3\), con intersecciones sólo en la frontera. Por definición, esto significa que \(RD\) es un dominio fundamental para la acción de \(\mathbb{Z}^3\) sobre \(\mathbb{R}^3\).

\(\square\)

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Definición 2.1.4.

Un subconjunto \(F \subset \mathbb{R}^3\) es un dominio fundamental para la acción de \(\Lambda\) si:

(DF1) (Exhaustividad) \[ \forall x \in \mathbb{R}^3,\ \exists \lambda \in \Lambda \text{ tal que } x \in F + \lambda. \]

(DF2) (No solapamiento de interiores) \[ \operatorname{int}(F) \cap (\operatorname{int}(F)+\lambda) = \varnothing \quad \forall \lambda \in \Lambda \setminus \{0\}. \]

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Demostración:

Paso 1: Exhaustividad.
Sea \(x \in \mathbb{R}^3\). Como \(\mathbb{Z}^3\) es una red discreta, el conjunto

\[ \{\|x-\lambda\| \mid \lambda \in \mathbb{Z}^3\} \]

admite un mínimo. Sea \(\lambda_0 \in \mathbb{Z}^3\) tal que

\[ \|x-\lambda_0\| \le \|x-\lambda\| \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}^3. \]

Entonces, por definición del dominio de Voronoi,

\[ x-\lambda_0 \in V(0) = RD, \]

lo que equivale a

\[ x \in RD + \lambda_0. \]

Por tanto, \[ \mathbb{R}^3 = \bigcup_{\lambda \in \mathbb{Z}^3} (RD + \lambda). \]

Se cumple la condición (DF1).

Paso 2: No solapamiento de interiores.
Supongamos que existe \(\lambda \in \mathbb{Z}^3 \setminus \{0\}\) y un punto

\[ x \in \operatorname{int}(RD) \cap (\operatorname{int}(RD)+\lambda). \]

Entonces:

\[ x \in \operatorname{int}(RD) \quad \text{y} \quad x-\lambda \in \operatorname{int}(RD). \]

Por definición del interior del dominio de Voronoi, se tiene:

\[ \|x\| < \|x-\mu\| \quad \forall \mu \in \mathbb{Z}^3 \setminus \{0\}, \]

y también

\[ \|x-\lambda\| < \|x-\lambda-\mu\| \quad \forall \mu \in \mathbb{Z}^3 \setminus \{0\}. \]

Tomando \(\mu = \lambda\) en la primera desigualdad se obtiene

\[ \|x\| < \|x-\lambda\|. \]

Tomando \(\mu = -\lambda\) en la segunda desigualdad se obtiene

\[ \|x-\lambda\| < \|x\|. \]

Esto es una contradicción. Por tanto, no existe tal punto \(x\).

Luego,

\[ \operatorname{int}(RD) \cap (\operatorname{int}(RD)+\lambda) = \varnothing \quad \forall \lambda \neq 0. \]

Se cumple la condición (DF2).

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Conclusión.

El dodecaedro rómbico \(RD\), definido como dominio de Voronoi del origen para la red \(\mathbb{Z}^3\), satisface:

– exhaustividad del espacio por traslaciones,
– unicidad de representante por órbita en el interior.

Por lo tanto, \(RD\) es un dominio fundamental para la acción de la red cúbica sobre \(\mathbb{R}^3\).

En consecuencia, las traslaciones de \(RD\) teselan \(\mathbb{R}^3\) sin solapamiento interior, y toda la estructura combinatoria y geométrica queda completamente determinada.

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Definición 2.1.5: Conjunto de poliedros \(\mathcal{P}\).

Sea \(RD \subset \mathbb{R}^3\) el dodecaedro rómbico considerado como dominio fundamental. Definimos el conjunto de poliedros asociado a la teselación como

\[ \mathcal{P} := \{\, RD + \lambda \mid \lambda \in \mathbb{Z}^3 \,\}. \]

Es decir, \(\mathcal{P}\) es la familia de todos los traslados de \(RD\) por los vectores de la red cúbica \(\mathbb{Z}^3\).

Cada elemento \(P \in \mathcal{P}\) es un poliedro convexo congruente a \(RD\), y puede escribirse de forma única como

\[ P = RD + \lambda \quad\text{para algún }\lambda \in \mathbb{Z}^3. \]

Además, por las propiedades demostradas de la teselación de Voronoi, el conjunto \(\mathcal{P}\) satisface:

• Cobertura: \[ \mathbb{R}^3 = \bigcup_{P\in\mathcal{P}} P. \]
• Disjunción de interiores: \[ \operatorname{int}(P_1)\cap\operatorname{int}(P_2)=\varnothing \quad\text{si } P_1\neq P_2. \]
• Periodicidad: \[ P+\mu \in \mathcal{P} \quad\text{para todo }P\in\mathcal{P}\text{ y todo }\mu\in\mathbb{Z}^3. \]

En consecuencia, \(\mathcal{P}\) constituye una teselación periódica del espacio euclidiano tridimensional por poliedros congruentes, indexada naturalmente por la red \(\mathbb{Z}^3\).