Capítulo 1 — 4. Teorema de teselación del espacio euclidiano
Sección 1.4
Definición 1.4.1: Traslación de un subconjunto del espacio euclidiano.
Sea \(A\subset\mathbb{R}^n\) un subconjunto no vacío, y sea \(\lambda\in\mathbb{R}^n\).
Se define el conjunto trasladado de \(A\) por el vector \(\lambda\) como \[ A+\lambda := \left\{ x\in\mathbb{R}^n \;\middle|\; \exists\,a\in A \text{ tal que } x=a+\lambda \right\}. \]
Definición 1.4.2: Región o dominio de Voronoi.
Sea \(\Lambda \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto discreto no vacío, provisto de la norma euclidiana \(\|\cdot\|\).
Para un punto \(\lambda \in \Lambda\), se define la región o dominio de Voronoi asociada a \(\lambda\) como el conjunto
\[ V(\lambda) := \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \|x-\lambda\| \le \|x-\mu\| \;\;\text{para todo }\mu \in \Lambda \right\}. \]
Es decir, \(V(\lambda)\) está formado por todos los puntos del espacio que están al menos tan cerca de \(\lambda\) como de cualquier otro punto del conjunto \(\Lambda\).
Definición 1.4.3: Plano mediador.
Sean \(a,b \in \mathbb{R}^n\) con \(a \neq b\). Se define el plano mediador (o hiperplano mediador) del segmento que une \(a\) y \(b\) como el conjunto
\[ H(a,b) \;:=\; \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \|x-a\| = \|x-b\| \right\}. \]
Proposición 1.4.4:
\(H(a,b)\) es el hiperplano afín dado por la ecuación
\[ H(a,b) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \langle x,\; b-a\rangle = \frac{1}{2}\big(\|b\|^2-\|a\|^2\big) \right\} \]
Demostración:
Por definición, el plano mediador entre \(a,b \in \mathbb{R}^n\) con \(a \neq b\) está dado por
\[ H(a,b) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \|x-a\| = \|x-b\| \right\}. \]
Elevando ambos lados al cuadrado (lo cual preserva la igualdad por ser ambas cantidades no negativas), obtenemos
\[ \|x-a\|^2 = \|x-b\|^2. \]
Usando la identidad euclidiana \(\|u\|^2 = \langle u,u\rangle\), se tiene
\[ \langle x-a, x-a\rangle = \langle x-b, x-b\rangle. \]
Desarrollando ambos productos escalares:
\[ \langle x,x\rangle - 2\langle x,a\rangle + \langle a,a\rangle = \langle x,x\rangle - 2\langle x,b\rangle + \langle b,b\rangle. \]
Cancelando el término común \(\langle x,x\rangle\) en ambos lados, resulta
\[ -2\langle x,a\rangle + \|a\|^2 = -2\langle x,b\rangle + \|b\|^2. \]
Reordenando términos:
\[ 2\langle x,b-a\rangle = \|b\|^2 - \|a\|^2. \]
Dividiendo entre \(2\), se obtiene finalmente
\[ \langle x, b-a\rangle = \frac{1}{2}\big(\|b\|^2 - \|a\|^2\big). \]
Por lo tanto,
\[ H(a,b) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \langle x,\; b-a\rangle = \frac{1}{2}\big(\|b\|^2-\|a\|^2\big) \right\}, \]
Veamos que este plano mediador es un hiperplano afín perpendicular al vector \(b-a\).
En efecto:
Recordemos que el hiperplano mediador entre \(a,b \in \mathbb{R}^n\), \(a \neq b\), está dado por
\[ H(a,b) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \langle x,\; b-a\rangle = \frac{1}{2}\big(\|b\|^2-\|a\|^2\big) \right\}. \]
Sea \(x_0 \in H(a,b)\) un punto fijo del hiperplano. Consideremos cualquier otro punto \(x \in H(a,b)\). Entonces ambos satisfacen la ecuación del hiperplano:
\[ \langle x,\; b-a\rangle = \frac{1}{2}\big(\|b\|^2-\|a\|^2\big), \qquad \langle x_0,\; b-a\rangle = \frac{1}{2}\big(\|b\|^2-\|a\|^2\big). \]
Restando ambas igualdades se obtiene
\[ \langle x - x_0,\; b-a\rangle = 0. \]
El vector \(x - x_0\) es un vector director arbitrario contenido en el hiperplano \(H(a,b)\). La igualdad anterior muestra que todo vector contenido en el hiperplano es ortogonal al vector \(b-a\).
Por definición geométrica, esto implica que \(b-a\) es un vector normal al hiperplano \(H(a,b)\). En consecuencia, el hiperplano mediador es perpendicular al vector \(b-a\).
Esto coincide con la interpretación geométrica clásica: \(H(a,b)\) es el conjunto de puntos equidistantes de \(a\) y \(b\), y su dirección normal apunta a lo largo del segmento que une dichos puntos.
El plano mediador es perpendicular al vector \(b-a\), contiene el punto medio \[ m=\frac{a+b}{2}, \] y divide el espacio en dos semiespacios determinados por las desigualdades \(\|x-a\| \le \|x-b\|\) y \(\|x-a\| \ge \|x-b\|\).
En el caso particular \(a=0\) y \(b=\lambda \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}\), el plano mediador entre el origen y \(\lambda\) es
\[ H(0,\lambda) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \langle x,\lambda\rangle = \frac{1}{2}\|\lambda\|^2 \right\}. \]
Proposición 1.4.5: Teselación por dominios de Voronoi.
Sea \(\Lambda \subset \mathbb{R}^n\) una red discreta. Entonces la familia de dominios de Voronoi \(\{V(\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}\) tesela \(\mathbb{R}^n\), es decir:
- \(\displaystyle \mathbb{R}^n = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} V(\lambda)\),
- \(\operatorname{int}(V(\lambda_1)) \cap \operatorname{int}(V(\lambda_2)) = \varnothing\) si \(\lambda_1 \neq \lambda_2\).
Demostración:
Existencia de un punto más cercano.
Sea \(p \in \mathbb{R}^n\). Como \(\Lambda\) es una red discreta, existe \(\varepsilon>0\) tal que el conjunto
\(B(p,\varepsilon)\cap \Lambda\)
es finito. La función
\[ f(\lambda)=\|p-\lambda\| \]
definida sobre el conjunto discreto \(\Lambda\) alcanza un mínimo en \(B(p,\varepsilon)\cap \Lambda\), pues una función real sobre un conjunto finito siempre lo alcanza. Por tanto, existe al menos un \(\lambda_0\in\Lambda\) tal que
\[ \|p-\lambda_0\| \le \|p-\lambda\| \quad \forall\,\lambda\in\Lambda. \]
Por definición del dominio de Voronoi,
\[p \in V(\lambda_0)\]
Esto prueba que
\[\mathbb{R}^n \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} V(\lambda)\]
Exhaustividad del recubrimiento.
La inclusión inversa es inmediata, ya que cada \(V(\lambda)\subset\mathbb{R}^n\), lo que implica que \(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} V(\lambda) \subset \mathbb{R}^n\). Luego,
\[ \mathbb{R}^n = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} V(\lambda). \]
Disjunción de interiores.
Supongamos, por contradicción, que existe un punto
\[ p \in \operatorname{int}(V(\lambda_1)) \cap \operatorname{int}(V(\lambda_2)), \quad \lambda_1 \neq \lambda_2. \]
Por definición de interior, existen \(\delta_1,\delta_2>0\) tales que en una vecindad de \(p\) se cumplen estrictamente las desigualdades
\[ \|p-\lambda_1\| \lt \|p-\mu\| \quad \forall\,\mu\in\Lambda\setminus\{\lambda_1\}, \]
y
\[ \|p-\lambda_2\| \lt \|p-\mu\| \quad \forall\,\mu\in\Lambda\setminus\{\lambda_2\}. \]
En particular,
\[ \|p-\lambda_1\| \lt \|p-\lambda_2\| \quad \text{y} \quad \|p-\lambda_2\| \lt \|p-\lambda_1\|, \]
lo cual es una contradicción.
Por tanto,
\[ \operatorname{int}(V(\lambda_1)) \cap \operatorname{int}(V(\lambda_2)) = \varnothing \quad \text{si } \lambda_1 \neq \lambda_2. \]
Intersección solo en fronteras.
Si un punto \(p\) pertenece a \(V(\lambda_1)\cap V(\lambda_2)\) con \(\lambda_1\neq\lambda_2\), entonces
\[ \|p-\lambda_1\| = \|p-\lambda_2\| \le \|p-\mu\| \quad \forall\,\mu\in\Lambda. \]
Por definición, dicho punto pertenece a la frontera común de ambos dominios. Esto muestra que las intersecciones solo pueden darse en las fronteras.
Conclusión.
Los dominios de Voronoi asociados a una red discreta \(\Lambda\) cubren exhaustivamente \(\mathbb{R}^n\) y tienen interiores disjuntos. Por lo tanto, forman una teselación del espacio euclidiano.
Proposición 1.4.6: RD es un dominio de Voronoi
Sea
\[\Lambda=\{(m,n,p)\in\mathbb Z^3:\; m+n+p \text{ es par}\}\]
Entonces el conjunto
\[\mathrm{RD} = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3: |x|+|y|\le 1,\; |x|+|z|\le 1,\; |y|+|z|\le 1\}\]
es el dominio de Voronoi del origen respecto de la red \(\Lambda\).
Demostración.
Recordemos que el dominio de Voronoi del origen está definido por \[ V(0)= \{x\in\mathbb R^3: \|x\|\le \|x-\lambda\| \text{ para todo } \lambda\in\Lambda\}. \] Debemos probar que \(V(0)=\mathrm{RD}\).
1. Vectores más próximos en la red.
Sea \(\lambda=(m,n,p)\in\Lambda\setminus\{0\}\). Como \(m+n+p\) es par, los vectores no nulos de menor norma en \(\Lambda\) son
\[(\pm1,\pm1,0),\quad (\pm1,0,\pm1),\quad (0,\pm1,\pm1),\]
pues \(1+1+0=2\) es par.
Su norma es
\[\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\]
No existen vectores de norma \(1\) en \(\Lambda\), ya que \((1,0,0)\) tiene suma impar. Por tanto, los vecinos más cercanos del origen están a distancia \(\sqrt2\).
2. Planos mediadores.
Para cada vecino más cercano \(\lambda\), los puntos equidistantes de \(0\) y \(\lambda\) satisfacen
\[\|x\|^2=\|x-\lambda\|^2\]
Desarrollando,
\[\|x\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x,\lambda\rangle +\|\lambda\|^2\]
Simplificando se obtiene
\[2\langle x,\lambda\rangle=\|\lambda\|^2\]
Como \(\|\lambda\|^2=2\), resulta
\[\langle x,\lambda\rangle=1\].
3. Obtención de las desigualdades.
Tomando por ejemplo \(\lambda=(1,1,0)\), el semiespacio que contiene al origen es \(x+y\le 1\)
Con \((1,-1,0)\) se obtiene
\[x-y\le 1\]
Repitiendo el argumento para todas las combinaciones de signos y permutaciones, se obtienen exactamente las condiciones
\[|x|+|y|\le 1, \quad |x|+|z|\le 1, \quad |y|+|z|\le 1\]
La intersección de estos semiespacios es precisamente \(\mathrm{RD}\).
4. Suficiencia de los vecinos más próximos.
Si \(\lambda\in\Lambda\) tiene norma estrictamente mayor que \(\sqrt2\), su plano mediador queda más alejado del origen y no introduce nuevas restricciones adicionales. Por tanto, basta considerar los doce vecinos más cercanos.
Concluimos que
\[V(0)=\mathrm{RD}\]
Por definición, \(\mathrm{RD}\) es el dominio de Voronoi del origen respecto de la red \(\Lambda\).
Teorema 1.4.7: Teselación euclidiana por RD
Sea \(\mathrm{RD}\subset\mathbb{R}^3\) el dodecaedro rómbico definido por \[ \mathrm{RD} = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: |x|+|y|\le 1,\; |x|+|z|\le 1,\; |y|+|z|\le 1 \right\}. \] Entonces existe un conjunto discreto de traslaciones \(\Lambda=\{(m,n,p)\in\mathbb Z^3:\; m+n+p \text{ es par}\}\subset \mathbb{R}^3\) tal que los traslados de \(\mathrm{RD}\) recubren todo el espacio sin solaparse en volumen.
Demostración.
1. RD es un dominio de Voronoi:
Como se demostró anteriormente (proposición 1.4.6), \(\mathrm{RD}\) es exactamente el dominio de Voronoi del origen respecto de la red \(\Lambda\):
\[\mathrm{RD}=V(0)=\{x\in\mathbb R^3:\|x\|\le \|x-\lambda\|\ \forall \lambda\in\Lambda\}\]
2. Traslaciones de los dominios de Voronoi:
Para cada \(\lambda\in\Lambda\), el dominio de Voronoi correspondiente satisface
\[V(\lambda)=V(0)+\lambda=\mathrm{RD}+\lambda\]
3. Propiedad de teselación de dominios de Voronoi:
Por la Proposición 1.4.5, la familia \(\{V(\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}\) tesela \(\mathbb{R}^3\):
\[\mathbb R^3 = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} V(\lambda), \quad \operatorname{int}(V(\lambda_1)) \cap \operatorname{int}(V(\lambda_2)) = \varnothing \quad \text{si } \lambda_1\neq \lambda_2\]
Sustituyendo \(V(\lambda)=\mathrm{RD}+\lambda\), obtenemos
\[\mathbb R^3 = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} (\mathrm{RD}+\lambda), \quad \operatorname{int}(\mathrm{RD}+\lambda_1) \cap \operatorname{int}(\mathrm{RD}+\lambda_2) = \varnothing \text{ si } \lambda_1\neq \lambda_2\]
4. Conclusión:
Por lo tanto, los traslados de \(\mathrm{RD}\) recubren todo el espacio euclidiano tridimensional sin solaparse, es decir, \(\mathrm{RD}\) tesela \(\mathbb{R}^3\).
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