Parte 2. RD tesela el espacio

LaTeX en HTML5

Ejemplo 2.1.6. El intervalo \[ F = [0,1) \] es un dominio fundamental para la acción del grupo \(\mathbb{Z}\) sobre \(\mathbb{R}\) dada por traslaciones \[ n \cdot x = x + n. \]

Demostración.

(DF1) Exhaustividad.
Observemos que \[ n \cdot F = F + n = [n,n+1). \] Por tanto, \[ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} n\cdot F = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} [n,n+1) = \mathbb{R}. \] En efecto, dado \(x\in\mathbb{R}\), existe un único entero \(n=\lfloor x\rfloor\) tal que \[ y= x-n\in[0,1), \] es decir, \(x=y+n\), con \(y \in [0,1) \) \[ x\in n\cdot F. \] Luego toda órbita intersecta \(F\), y se cumple la exhaustividad.

(DF2) No solapamiento de interiores.
El interior de \(F\) es \[ \operatorname{int}(F)=(0,1). \] Además, \[ \operatorname{int}(n\cdot F)=(n,n+1). \] Supongamos que existe \(n\neq 0\) tal que \[ (0,1)\cap(n,n+1)\neq\varnothing. \] Entonces existiría \(x\) tal que \[ 0 \lt x \lt 1 \quad\text{y}\quad n \lt x \lt n+1. \] Esto implica necesariamente que \(n=0\), lo cual contradice \(n\neq 0\). Por tanto, \[ \operatorname{int}(F)\cap\operatorname{int}(n\cdot F)=\varnothing \quad\text{si } n\neq 0. \]

(DF3) Representación esencialmente única.
Sea \(x\in\mathbb{R}\). Existe un único entero \(n=\lfloor x\rfloor\) tal que \(x\in[n,n+1)\). Por tanto, cada punto de \(\mathbb{R}\) pertenece a exactamente un traslado \(n\cdot F\), salvo los puntos enteros. En efecto, si \(x=k\in\mathbb{Z}\), entonces \[ k\in[k,k+1) \quad\text{y también}\quad k\in[(k-1),k]. \] Estos puntos pertenecen a la frontera de los intervalos, y constituyen el único caso de posible ambigüedad.

Concluimos que \(F=[0,1)\) es un dominio fundamental para la acción de \(\mathbb{Z}\) sobre \(\mathbb{R}\). \(\square\)

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Capítulo 2 — 1. Definición del conjunto de poliedros P\mathcal{P}

LaTeX en HTML5 Sección 2.1 2.1.1 Definición: Acción de un grupo sobre un conjunto. Sea \((G,*)\) un grupo con elemento neutro \(e\), y sea \(X\) un conjunto no vacío. Una acción de \(G\) sobre \(X\) es una aplicación \[\Phi : G \times X \longrightarrow X, \qquad (g,x)\longmapsto g\cdot x,\] tal que se satisfacen las siguientes propiedades fundamentales: (i) Compatibilidad con la operación del grupo. Para todos \(g,h\in G\) y todo \(x\in X\), \[\Phi(g*h,x) = \Phi(g,\Phi(h,x))\] (ii) Identidad. Para todo \(x\in X\), \[\Phi(e,x) = x\] Ejemplo: Acción del grupo de simetrías del cuadrado sobre sus vértices. Sea \(G = D_4\) el grupo diedral de orden \(8\), es decir, el grupo de todas las isometrías del plano que dejan invariante un cuadrado centrado en el origen. La operación en \(G\) es la composición de funciones. Consideremos el cuadrado centrado en el origen de \(\mathbb{R}^2\) cuyos vértices son \[\b...
Leer más

Capítulo 1 — 3. Grupo de simetrías Aut(RD)

LaTeX en HTML5 Sección 1.3: Simetría inherente Definición 1.3.1: Grupo de simetrías de RD Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1, \ |x| + |z| \le 1, \ |y| + |z| \le 1 \right\}. \] El grupo de simetrías \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) está formado por todas las transformaciones lineales \(T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) tales que: \[ T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}, \quad T \text{ es una isometría rígida (rotación o reflexión)}. \] Esta definición establece formalmente qué significa “simetría” en el contexto del dodecaedro rómbico: cualquier transformación que mueva puntos dentro de \(\mathbb{R}^3\) sin deformar el sólido ni alterar su forma (solo rotaciones o reflejos) y que deje al dodecaedro exactamente en su lugar, pertenece al grupo de simetrías. En otras palabras, \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) captura todas las maneras de “mover” el sólido sin que se note n...
Leer más

Capítulo 1 — 4. Teorema de teselación del espacio euclidiano

Imagen
LaTeX en HTML5 Sección 1.4 Definición 1.4.1: Traslación de un subconjunto del espacio euclidiano. Sea \(A\subset\mathbb{R}^n\) un subconjunto no vacío, y sea \(\lambda\in\mathbb{R}^n\). Se define el conjunto trasladado de \(A\) por el vector \(\lambda\) como \[ A+\lambda := \left\{ x\in\mathbb{R}^n \;\middle|\; \exists\,a\in A \text{ tal que } x=a+\lambda \right\}. \] Definición 1.4.2: Región o dominio de Voronoi. Sea \(\Lambda \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto discreto no vacío, provisto de la norma euclidiana \(\|\cdot\|\). Para un punto \(\lambda \in \Lambda\), se define la región o dominio de Voronoi asociada a \(\lambda\) como el conjunto \[ V(\lambda) := \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \|x-\lambda\| \le \|x-\mu\| \;\;\text{para todo }\mu \in \Lambda \right\}. \] Es decir, \(V(\lambda)\) está formado por todos los puntos del espacio que están al menos tan cerca de \(\lambda\) como de cualquier otr...
Leer más