Parte 1 RD tesela el espacio.

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Proposición. Sea \[ \Lambda=\{(m,n,p)\in\mathbb Z^3:\; m+n+p \text{ es par}\}. \] Entonces el conjunto \[ \mathrm{RD} = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3: |x|+|y|\le 1,\; |x|+|z|\le 1,\; |y|+|z|\le 1\} \] es el dominio de Voronoi del origen respecto de la red \(\Lambda\).

Demostración.

Recordemos que el dominio de Voronoi del origen está definido por \[ V(0)= \{x\in\mathbb R^3: \|x\|\le \|x-\lambda\| \text{ para todo } \lambda\in\Lambda\}. \] Debemos probar que \(V(0)=\mathrm{RD}\).

1. Vectores más próximos en la red.
Sea \(\lambda=(m,n,p)\in\Lambda\setminus\{0\}\). Como \(m+n+p\) es par, los vectores no nulos de menor norma en \(\Lambda\) son \[ (\pm1,\pm1,0),\quad (\pm1,0,\pm1),\quad (0,\pm1,\pm1), \] pues \(1+1+0=2\) es par. Su norma es \[ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \] No existen vectores de norma \(1\) en \(\Lambda\), ya que \((1,0,0)\) tiene suma impar. Por tanto, los vecinos más cercanos del origen están a distancia \(\sqrt2\).

2. Planos mediadores.
Para cada vecino más cercano \(\lambda\), los puntos equidistantes de \(0\) y \(\lambda\) satisfacen \[ \|x\|^2=\|x-\lambda\|^2. \] Desarrollando, \[ \|x\|^2 = \|x\|^2 -2\langle x,\lambda\rangle +\|\lambda\|^2. \] Simplificando se obtiene \[ 2\langle x,\lambda\rangle=\|\lambda\|^2. \] Como \(\|\lambda\|^2=2\), resulta \[ \langle x,\lambda\rangle=1. \]

3. Obtención de las desigualdades.
Tomando por ejemplo \(\lambda=(1,1,0)\), el semiespacio que contiene al origen es \[ x+y\le 1. \] Con \((1,-1,0)\) se obtiene \[ x-y\le 1. \] Repitiendo el argumento para todas las combinaciones de signos y permutaciones, se obtienen exactamente las condiciones \[ |x|+|y|\le 1, \quad |x|+|z|\le 1, \quad |y|+|z|\le 1. \] La intersección de estos semiespacios es precisamente \(\mathrm{RD}\).

4. Suficiencia de los vecinos más próximos.
Si \(\lambda\in\Lambda\) tiene norma estrictamente mayor que \(\sqrt2\), su plano mediador queda más alejado del origen y no introduce nuevas restricciones adicionales. Por tanto, basta considerar los doce vecinos más cercanos.

Concluimos que \[ V(0)=\mathrm{RD}. \] Por definición, \(\mathrm{RD}\) es el dominio de Voronoi del origen respecto de la red \(\Lambda\). \(\square\)

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