Capítulo 9.4 El tiempo como parámetro inducido por el camino mínimo

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Sección 9.4

9.4 El tiempo como parámetro inducido por el camino mínimo

Definición 9.4.1 (Parámetro temporal inducido)

Sea \( \gamma^\ast = (c_0, c_1, \dots, c_n) \) un camino estructural mínimo entre dos configuraciones \( c_i \) y \( c_f \), en el sentido del Teorema 9.3.1.

Se define el parámetro temporal inducido \( \tau : \{0,\dots,n\} \to \mathbb{R}_{\ge 0} \) por

\[ \tau(k) = \sum_{j=0}^{k-1} \bigl| \Phi(c_{j+1}) - \Phi(c_j) \bigr|, \quad \tau(0) = 0. \]

El incremento temporal elemental asociado a la transición \( c_k \to c_{k+1} \) está dado por

\[ \Delta \tau_k = \tau(k+1) - \tau(k) = \bigl| \Phi(c_{k+1}) - \Phi(c_k) \bigr|. \]

Teorema 9.4.2 (Monotonía y orden temporal)

El parámetro \( \tau \) induce un orden total sobre los estados del camino mínimo \( \gamma^\ast \), tal que

\[ k < l \;\Rightarrow\; \tau(k) < \tau(l). \]

Este orden no depende de ninguna noción previa de tiempo, sino exclusivamente de la estructura del camino mínimo.

Demostración

Por definición, cada incremento \( \Delta \tau_k \ge 0 \), y es estrictamente positivo para toda transición no trivial, ya que \( \Phi(c_{k+1}) \neq \Phi(c_k) \) en un camino estructural admisible.

Por tanto, la suma acumulativa \( \tau(k) \) es estrictamente creciente con \( k \), lo que induce un orden total sobre los estados del camino.

Este orden es independiente de cualquier parametrización externa y depende únicamente de las diferencias estructurales capturadas por \( \Phi \).

Esto completa la demostración.

Teorema 9.4.3 (Invariancia bajo reparametrización)

Sea \( f : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0} \) una función estrictamente creciente. Entonces \( t = f(\tau) \) define un parámetro temporal equivalente, que preserva el orden inducido por el camino mínimo.

Demostración

Como \( f \) es estrictamente creciente, para todo \( k < l \) se cumple

\[ \tau(k) < \tau(l) \;\Rightarrow\; f(\tau(k)) < f(\tau(l)). \]

Por tanto, la estructura temporal inducida no depende de la escala específica de \( \tau \), sino únicamente de su orden.

Esto completa la demostración.

Corolario 9.4.4 (Emergencia del tiempo sin dinámica)

El tiempo emerge como un parámetro derivado de la estructura global de los caminos mínimos, sin necesidad de postular flujo temporal, ecuaciones de movimiento o continuidad temporal.

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