Capítulo 9: 7 Métrica efectiva, luz estructural y límite de propagación

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Sección 9.7

9.7 Métrica efectiva, luz estructural y límite de propagación

9.7.1 Métrica efectiva inducida

Sea \( (\mathcal{C}, D) \) el espacio estructural con distancia mínima inducida definida en 9.6, y sea \( \tau(\gamma) \) el parámetro temporal discreto inducido por caminos mínimos (9.4).

Para dos configuraciones \( c, d \in \mathcal{C} \), se define la métrica efectiva estructural como el par

\[ \mathcal{M}(c,d) := \big( D(c,d), \; \Delta \tau(c,d) \big), \]

donde \( \Delta \tau(c,d) \) es el número mínimo de transiciones admisibles necesarias para conectar \( c \) con \( d \) a lo largo de un camino estructural mínimo.

Esta métrica no es geométrica, sino relacional y dinámica.

9.7.2 Velocidad estructural efectiva

Se define la velocidad estructural efectiva entre dos configuraciones como

\[ v(c,d) = \frac{D(c,d)}{\Delta \tau(c,d)}. \]

Esta cantidad mide la tasa máxima de reconfiguración estructural permitida por el sistema.

Teorema 9.7.3 (Velocidad máxima discreta)

Existe una constante estructural finita \( v_{\max} > 0 \) tal que, para todo par de configuraciones \( c, d \in \mathcal{C} \) conectadas por un camino admisible, se cumple

\[ v(c,d) \le v_{\max}. \]

Esta cota es independiente del camino elegido y depende únicamente de los pesos estructurales locales.

Demostración

Por construcción, cada transición elemental \( c_i \to c_{i+1} \) posee un peso estructural mínimo positivo

\[ W(c_i \to c_{i+1}) \ge w_{\min} > 0, \]

resultado de la resistencia mínima al ajuste estructural (9.5).

Sea \( \gamma \) un camino mínimo entre \( c \) y \( d \) con \( n = \Delta \tau(c,d) \) transiciones.

Entonces

\[ D(c,d) = \sum_{i=1}^{n} W(c_i \to c_{i+1}) \ge n \, w_{\min}. \]

Por tanto,

\[ v(c,d) = \frac{D(c,d)}{n} \le \frac{w_{\max}}{1} = v_{\max}, \]

donde \( v_{\max} \) es la máxima tasa de propagación compatible con las restricciones estructurales locales.

Esto demuestra la existencia de una velocidad máxima discreta.

9.7.4 Luz estructural

Se denomina luz estructural al conjunto de caminos estructurales que saturan la cota \( v_{\max} \).

Estos caminos definen el límite absoluto de transmisión de influencia estructural.

Teorema 9.7.5 (Conos causales estructurales)

El conjunto de configuraciones alcanzables desde una configuración inicial \( c \) en un tiempo estructural \( \tau \) está contenido en el cono

\[ \mathcal{K}^+(c) = \{ d \in \mathcal{C} \mid D(c,d) \le v_{\max} \, \Delta \tau(c,d) \}. \]

Fuera de este cono, la influencia estructural es imposible.

Demostración

Si existiera un camino con \( D(c,d) > v_{\max} \Delta \tau(c,d) \), entonces su velocidad efectiva superaría la cota demostrada en el Teorema 9.7.3, lo cual contradice la positividad mínima de los pesos.

Por tanto, toda propagación estructural respeta el cono causal inducido.

Esto completa la demostración.

Corolario 9.7.6 (No propagación instantánea)

Ninguna influencia estructural puede propagarse instantáneamente en el sistema.

La causalidad emerge como consecuencia del límite de propagación.

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