Capítulo 9: 3. Principio de camino mínimo como teorema global

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Sección 9.3

9.3 Principio de camino mínimo como teorema global

Teorema 9.3.1 (Principio global de camino estructural mínimo)

Sea \( \mathcal{C} \) el conjunto de configuraciones estructurales admisibles, \( \mathcal{G} = (\mathcal{C}, \mathcal{E}) \) su grafo de configuraciones, y \( \Phi : \mathcal{C} \to \mathbb{R} \) el funcional global de incompatibilidad.

Sean \( c_i, c_f \in \mathcal{C} \) dos configuraciones estructuralmente conectadas. Entonces existe al menos un camino estructural

\[ \gamma^\ast = (c_0, c_1, \dots, c_n), \quad c_0 = c_i, \quad c_n = c_f, \]

tal que para todo camino estructural \( \gamma \) que conecta \( c_i \) con \( c_f \) se cumple

\[ \mathcal{K}(\gamma^\ast) \le \mathcal{K}(\gamma), \]

donde

\[ \mathcal{K}(\gamma) = \sum_{k=0}^{n-1} \bigl| \Phi(c_{k+1}) - \Phi(c_k) \bigr| \]

es el costo estructural del camino.

El sistema realiza preferentemente transiciones a lo largo de caminos estructurales de costo mínimo.

Demostración

Considérese el conjunto \( \Gamma(c_i, c_f) \) de todos los caminos estructurales finitos que conectan \( c_i \) con \( c_f \).

Por la conectividad estructural, \( \Gamma(c_i, c_f) \neq \varnothing \).

El funcional de costo

\[ \mathcal{K} : \Gamma(c_i, c_f) \to \mathbb{R}_{\ge 0} \]

está bien definido y toma valores no negativos.

Como cada camino es finito y \( \Phi \) está definida sobre todo \( \mathcal{C} \), el conjunto de valores \( \{ \mathcal{K}(\gamma) : \gamma \in \Gamma(c_i, c_f) \} \) es un subconjunto no vacío de \( \mathbb{R}_{\ge 0} \).

Por el principio del mínimo en \( \mathbb{R} \), existe al menos un camino \( \gamma^\ast \in \Gamma(c_i, c_f) \) tal que

\[ \mathcal{K}(\gamma^\ast) = \min_{\gamma \in \Gamma(c_i, c_f)} \mathcal{K}(\gamma). \]

Este camino es, por definición, un camino estructural mínimo.

La preferencia del sistema por \( \gamma^\ast \) no se postula dinámicamente, sino que se sigue de la estructura global del espacio de configuraciones y del funcional \( \Phi \).

Esto completa la demostración.

Corolario 9.3.2 (Emergencia de una dinámica efectiva)

La colección de caminos estructurales mínimos define una dinámica efectiva sobre \( \mathcal{C} \), independiente de cualquier noción previa de tiempo, fuerza o geometría continua.

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