Capítulo 9: 2. Caminos estructurales y conectividad

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Sección 9.2

9.2 Caminos estructurales y conectividad

Definición 9.2.1 (Grafo de configuraciones)

Sea \( \mathcal{C} \) el conjunto de configuraciones estructurales admisibles. Defínase un grafo dirigido

\[ \mathcal{G} := (\mathcal{C}, \mathcal{E}), \]

donde existe una arista dirigida \( (c_i, c_j) \in \mathcal{E} \) si y solo si la transición \( c_i \to c_j \) es estructuralmente admisible.

Este grafo codifica todas las transiciones posibles del sistema sin referencia a geometría continua ni tiempo.

Definición 9.2.2 (Camino estructural)

Un camino estructural es una sucesión finita de configuraciones

\[ \gamma = (c_0, c_1, \dots, c_n), \]

tal que para todo \( i = 0,\dots,n-1 \) se cumple

\[ (c_i, c_{i+1}) \in \mathcal{E}. \]

Equivalentemente, un camino estructural es un camino dirigido en el grafo \( \mathcal{G} \).

Definición 9.2.3 (Conectividad estructural)

Dos configuraciones \( c_1, c_2 \in \mathcal{C} \) se dicen estructuralmente conectadas si existe un camino estructural \( \gamma \) tal que

\[ c_0 = c_1, \qquad c_n = c_2. \]

La conectividad define clases de alcanzabilidad causal dentro de \( \mathcal{C} \).

Definición 9.2.4 (Costo estructural de un camino)

Sea \( \Phi : \mathcal{C} \to \mathbb{R} \) el funcional global de incompatibilidad. Se define el costo estructural de un camino \( \gamma = (c_0,\dots,c_n) \) como

\[ \mathcal{K}(\gamma) := \sum_{i=0}^{n-1} \bigl|\Phi(c_{i+1}) - \Phi(c_i)\bigr|. \]

Este costo mide la tensión acumulada necesaria para realizar la reconfiguración completa.

Definición 9.2.5 (Camino estructural mínimo)

Un camino estructural \( \gamma^\ast \) que conecta \( c_1 \) con \( c_2 \) se dice mínimo si satisface

\[ \mathcal{K}(\gamma^\ast) = \min_{\gamma : c_1 \leadsto c_2} \mathcal{K}(\gamma). \]

Los caminos estructurales mínimos representan las transiciones preferentes del sistema.

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