Capítulo 9: 1. Movimiento como reconfiguración estructural

Sección 9.1

9.1 Movimiento como reconfiguración estructural

En este marco, el movimiento no se introduce como desplazamiento en un espacio preexistente ni como evolución en un tiempo continuo. En su lugar, se define de manera puramente estructural, como una transición entre configuraciones admisibles del sistema.

Definición 9.1.1 (Movimiento estructural)

Sea 𝒞 el conjunto de configuraciones estructurales admisibles del sistema, y sea Φ : 𝒞 → ℝ el funcional global de incompatibilidad.

Se dice que ocurre un movimiento estructural cuando el sistema pasa de una configuración c₁ ∈ 𝒞 a otra configuración c₂ ∈ 𝒞 tal que:

• c₂ es estructuralmente compatible con c₁ (transición admisible).
• Φ(c₂) ≤ Φ(c₁).

En tal caso, la transición c₁ → c₂ se interpreta como un proceso de movimiento.

Observación 9.1.2 (Movimiento sin trayectoria)

El movimiento estructural no presupone la existencia de trayectorias continuas, coordenadas espaciales ni curvas paramétricas. No se define un camino geométrico entre c₁ y c₂, sino únicamente una relación de precedencia estructural.

En consecuencia, el movimiento se concibe como una sucesión discreta de reconfiguraciones admisibles, sin referencia a posiciones intermedias.

Observación 9.1.3 (Movimiento sin tiempo continuo)

La noción de tiempo no interviene en la definición de movimiento estructural. El orden de las transiciones se establece únicamente mediante la relación de descenso del funcional de incompatibilidad.

Así, el movimiento se define antes de la introducción de un parámetro temporal continuo, el cual solo podrá emerger posteriormente como una aproximación macroscópica.

Conclusión

El movimiento, en su forma más básica, es una propiedad emergente de la dinámica de compatibilidad estructural, y no un concepto primitivo asociado a espacio, tiempo o trayectoria.

Teorema 9.1.4 (Irreversibilidad estructural local)

Sea \( \mathcal{C} \) el conjunto de configuraciones estructurales admisibles y sea \( \Phi : \mathcal{C} \to \mathbb{R} \) el funcional global de incompatibilidad.

Sea \( c_1 \to c_2 \) una transición admisible de movimiento estructural, es decir,

\[ \Phi(c_2) \le \Phi(c_1). \]

Si además se cumple que

\[ \Phi(c_2) < \Phi(c_1), \]

entonces la transición inversa \( c_2 \to c_1 \) no es estructuralmente admisible como movimiento.

En consecuencia, toda transición estructural con descenso estricto del funcional de incompatibilidad es irreversible.

Demostración

Por definición, una transición \( c_a \to c_b \) es admisible como movimiento estructural si y solo si satisface

\[ \Phi(c_b) \le \Phi(c_a). \]

Supóngase que \( c_1 \to c_2 \) es una transición admisible tal que

\[ \Phi(c_2) < \Phi(c_1). \]

Considérese la transición inversa \( c_2 \to c_1 \). Para que esta transición fuese admisible como movimiento estructural, debería cumplirse

\[ \Phi(c_1) \le \Phi(c_2). \]

Esta desigualdad contradice directamente la hipótesis \( \Phi(c_2) < \Phi(c_1) \). Por lo tanto, la transición inversa no satisface el criterio de admisibilidad estructural.

Se concluye que toda transición con descenso estricto del funcional \( \Phi \) es irreversible.

\( \square \)

Teorema 9.1.5 (Orden parcial causal inducido por \( \Phi \))

Sea \( \mathcal{C} \) el conjunto de configuraciones estructurales admisibles y sea \( \Phi : \mathcal{C} \to \mathbb{R} \) el funcional global de incompatibilidad.

Defínase una relación binaria \( \preceq \) sobre \( \mathcal{C} \) por

\[ c_1 \preceq c_2 \;\Longleftrightarrow\; \text{existe una secuencia finita de transiciones estructurales admisibles que conecta } c_1 \text{ con } c_2. \]

Entonces, la relación \( \preceq \) define un orden parcial sobre \( \mathcal{C} \).

Demostración

(Reflexividad)

Para toda configuración \( c \in \mathcal{C} \), la secuencia trivial de longitud cero conecta \( c \) consigo misma. Por tanto,

\[ c \preceq c. \]

(Transitividad)

Si \( c_1 \preceq c_2 \) y \( c_2 \preceq c_3 \), existen secuencias finitas de transiciones admisibles que conectan \( c_1 \) con \( c_2 \) y \( c_2 \) con \( c_3 \). La concatenación de ambas secuencias define una secuencia admisible que conecta \( c_1 \) con \( c_3 \). Por tanto,

\[ c_1 \preceq c_3. \]

(Antisimetría)

Supóngase que \( c_1 \preceq c_2 \) y \( c_2 \preceq c_1 \). Entonces existen secuencias admisibles de transiciones en ambos sentidos.

Por el Teorema 9.1.4, una transición con descenso estricto de \( \Phi \) no es reversible. Por tanto, debe cumplirse

\[ \Phi(c_1) = \Phi(c_2). \]

En consecuencia, \( c_1 \) y \( c_2 \) pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural y se identifican como el mismo elemento en el conjunto cociente de configuraciones.

Por lo tanto, la relación \( \preceq \) es reflexiva, transitiva y antisimétrica, y define un orden parcial sobre \( \mathcal{C} \).

\( \square \)