Capítulo 8: 7. Atracción/repulsión

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Sección 8.7

8.7 Atracción y repulsión estructural

En esta sección se introduce una noción puramente estructural de atracción y repulsión, derivada exclusivamente de la variación del funcional de incompatibilidad global, sin postular fuerzas, campos ni interacciones primitivas.

Definición 8.7.1 (Configuraciones cargadas)

Sea \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una configuración global admisible del complejo discreto, y sea \( \Phi_0 \) la configuración homogénea de referencia, definida como aquella que minimiza globalmente el funcional de incompatibilidad y es invariante bajo las simetrías combinatorias del dodecaedro rómbico.

Se dice que una configuración \( \Phi \) es una configuración cargada si existe un subconjunto finito no vacío \( D \subset \mathcal{P} \) tal que:

  • Para todo \( p \in \mathcal{P} \setminus D \), se cumple \( \Phi(p) = \Phi_0(p) \).
  • Para todo \( p \in D \), se cumple \( \Phi(p) \neq \Phi_0(p) \).
  • No existe ninguna reconfiguración local admisible soportada en un subconjunto finito que transforme \( \Phi \) en \( \Phi_0 \) sin aumentar la incompatibilidad total.

El conjunto \( D \) se denomina el soporte de carga estructural de la configuración \( \Phi \).

Cada elemento \( p \in D \) se denomina un portador de carga estructural.

Una configuración cargada se dice aislada si \( D \) es conexo respecto a la relación de adyacencia estructural.

Denotemos por \( \Phi \) una configuración global admisible que contiene ambos defectos.

Definición 8.7.2 (Variación de incompatibilidad relativa)

Sea \( \Delta \mathcal{I}_{pq} \) la variación del funcional global de incompatibilidad cuando la distancia estructural mínima entre \( p \) y \( q \) se reduce en una unidad discreta, manteniendo fijas las demás configuraciones.

\[ \Delta \mathcal{I}_{pq} := \mathcal{I}(\Phi_{pq}^{-}) - \mathcal{I}(\Phi_{pq}), \]

donde \( \Phi_{pq}^{-} \) denota la configuración obtenida tras una aproximación estructural mínima entre los defectos.

Definición 8.7.3 (Atracción estructural)

Se dice que dos defectos estructurales se atraen si

\[ \Delta \mathcal{I}_{pq} < 0, \]

es decir, si su aproximación reduce la incompatibilidad total del sistema.

Definición 8.7.4 (Repulsión estructural)

Se dice que dos defectos estructurales se repelen si

\[ \Delta \mathcal{I}_{pq} > 0, \]

es decir, si su aproximación incrementa la incompatibilidad global.

Observación 8.7.1 (Neutralidad estructural)

Si \( \Delta \mathcal{I}_{pq} = 0 \), la relación entre los defectos es estructuralmente neutra: su distancia relativa no afecta la compatibilidad global.

Proposición 8.7.1 (No necesidad de fuerzas)

Las nociones de atracción y repulsión introducidas no requieren la postulación de fuerzas, potenciales continuos ni trayectorias dinámicas, sino que emergen como propiedades del paisaje de compatibilidad del sistema discreto.

Corolario 8.7.1 (Emergencia de interacción efectiva)

Toda interacción observable entre defectos estructurales puede reinterpretarse como una tendencia del sistema a reconfigurarse hacia estados de menor incompatibilidad global, dando lugar, en niveles emergentes, a descripciones efectivas en términos de fuerzas atractivas o repulsivas.

En consecuencia, la dicotomía atracción/repulsión no constituye una ley fundamental, sino una manifestación secundaria de la estructura discreta subyacente.

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