Capítulo 8 — 2. Potencial discreto

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Sección 8.2

8.2 Potencial discreto

En esta sección se introduce el concepto de potencial discreto como una magnitud estructural derivada, previa a cualquier noción de espacio continuo, fuerza o campo físico. El potencial emerge como una medida local de incompatibilidad inducida por defectos estructurales en una configuración global.

8.2.1 Potencial como funcional de incompatibilidad local

Sea \( \mathcal{P} \) el conjunto de poliedros discretos y sea \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una configuración global admisible. Recordemos que para poliedros adyacentes \( p,q \in \mathcal{P} \) se ha definido una función de incompatibilidad local

\[ I(\Phi(p), \Phi(q)) \ge 0, \]

la cual mide el grado de incompatibilidad estructural entre sus estados locales.

Definición (Potencial discreto local). El potencial discreto asociado a un poliedro \( p \in \mathcal{P} \) se define como el funcional

\[ V(p) := \sum_{q \sim p} I(\Phi(p), \Phi(q)), \]

donde la suma se extiende sobre todos los poliedros \( q \) adyacentes a \( p \).

El potencial mide, por tanto, la cantidad total de incompatibilidad local concentrada alrededor de \( p \). En regiones homogéneas se tiene \( V(p) = 0 \), mientras que en presencia de defectos estructurales el potencial es estrictamente positivo.

8.2.2 Potencial sin espacio continuo

Es crucial destacar que el potencial discreto no depende de una métrica continua, de coordenadas espaciales ni de una noción previa de distancia geométrica.

El único ingrediente necesario para definir \( V(p) \) es:

  • la estructura de adyacencia del conjunto \( \mathcal{P} \),
  • la función de incompatibilidad local,
  • la configuración global \( \Phi \).

En este sentido, el potencial discreto es anterior al espacio físico: no se define en el espacio, sino que contribuye a la emergencia posterior de una estructura espacial efectiva en el límite continuo.

Esta inversión conceptual es fundamental: el potencial no vive sobre un espacio geométrico dado, sino que codifica tensiones internas de la estructura discreta.

8.2.3 Gradientes como tensiones estructurales

Aunque no existe aún una noción de gradiente diferencial, es posible definir una variación estructural del potencial entre poliedros adyacentes.

Definición (Gradiente discreto de potencial). Para poliedros adyacentes \( p,q \in \mathcal{P} \), se define

\[ \nabla V(p,q) := V(q) - V(p). \]

Esta cantidad mide la diferencia de incompatibilidad local entre regiones vecinas y puede interpretarse como una tensión estructural dirigida.

Las evoluciones admisibles del sistema tienden a reducir dichas tensiones, desplazando defectos o redistribuyendo incompatibilidades de manera que el potencial total disminuya.

En el límite continuo, estas tensiones estructurales darán lugar a nociones familiares como gradientes de potencial, fuerzas efectivas y ecuaciones de movimiento, sin que ninguna de ellas haya sido postulada en este nivel discreto.

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