Capítulo 7 — 3. Estados ligados

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Sección 7.3

7.3 Estados ligados

En las secciones anteriores se introdujeron defectos topológicos y modos propagantes como excitaciones estructurales elementales. Sin embargo, existen configuraciones en las cuales múltiples defectos no se propagan independientemente, sino que forman una estructura compuesta estable. A estas configuraciones se las denomina estados ligados.

Definición 7.3.1 (Estado ligado)

Sea \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una configuración global. Un estado ligado es un subconjunto finito no vacío \( L \subset \mathcal{P} \) tal que:

  1. \( L \) contiene al menos dos defectos topológicos disjuntos \( D_1, \dots, D_k \subset L \).
  2. La incompatibilidad total es estrictamente menor que la suma aislada: \[ \mathcal{I}(L) < \sum_{i=1}^k \mathcal{I}(D_i). \]
  3. Para toda evolución admisible \( \Phi \to \Phi' \), los defectos no pueden separarse sin aumentar la incompatibilidad: \[ \mathcal{I}_{\Phi'}(D_1 \cup \dots \cup D_k) \ge \mathcal{I}_{\Phi}(L). \]

Estas condiciones expresan que los defectos forman una unidad estructural más estable que sus componentes aislados.

Definición 7.3.2 (Energía estructural efectiva)

Se define la energía estructural efectiva de un estado ligado \( L \) como:

\[ E_{\mathrm{eff}}(L) := \sum_{i=1}^k \mathcal{I}(D_i) - \mathcal{I}(L). \]

Por definición, \[ E_{\mathrm{eff}}(L) > 0 \] para todo estado ligado.

Lema 7.3.3 (Estabilidad estructural del estado ligado)

Un estado ligado no puede disociarse mediante evoluciones admisibles locales.

Demostración:

Por hipótesis, toda evolución admisible preserva o reduce la incompatibilidad total. Si los defectos se separaran, la incompatibilidad resultante sería al menos \[ \sum_{i=1}^k \mathcal{I}(D_i), \] lo cual contradice la definición de estado ligado, que satisface \[ \mathcal{I}(L) < \sum_{i=1}^k \mathcal{I}(D_i). \] Por tanto, la disociación no es admisible. \( \square \)

Definición 7.3.4 (Estado ligado fundamental)

Un estado ligado \( L \) se dice fundamental si no existe un subconjunto propio \( L' \subsetneq L \) que sea también un estado ligado.

Los estados ligados fundamentales son irreductibles bajo la estructura de compatibilidad.

Teorema 7.3.5 (Cuantización estructural)

El conjunto de energías estructurales efectivas \[ \{E_{\mathrm{eff}}(L)\} \] es discreto.

Demostración:

La incompatibilidad \( \mathcal{I} \) toma valores enteros no negativos, definidos sobre conjuntos finitos de poliedros. Por tanto, las diferencias entre incompatibilidades son enteros positivos, lo que implica la discreción del espectro. \( \square \)

Consecuencia estructural

Los estados ligados introducen:

  • composición estructural no trivial,
  • estabilidad sin postulado dinámico,
  • niveles discretos de excitación.

Estas propiedades son consecuencias inevitables de la ontología discreta y de la minimización de incompatibilidad, sin introducir nociones continuas ni físicas.

Observación

Un estado ligado no es una superposición ni una agregación arbitraria, sino una entidad emergente cuya identidad no se reduce a la suma de sus partes.

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