Capítulo 7 — 2. Modos propagantes

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Sección 7.2

7.2 Modos propagantes

En la sección anterior se introdujeron defectos topológicos como excitaciones estructuralmente estables. Sin embargo, no todos los defectos permanecen estáticos: bajo ciertas configuraciones de compatibilidad parcial, las incompatibilidades pueden desplazarse a lo largo de la red de adyacencia. Estas excitaciones móviles reciben el nombre de modos propagantes.

Definición 7.2.1 (Modo propagante)

Sea \( \Phi_t : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una evolución admisible. Un modo propagante es una familia temporal de subconjuntos \( \{D_t\}_{t \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{P} \) tal que:

  1. Cada \( D_t \) es un defecto topológico.
  2. Existe una sucesión de poliedros \( p_t \in \mathcal{P} \) con \[ D_t \subseteq \mathrm{Star}(p_t), \] donde \( \mathrm{Star}(p) \) denota el vecindario estructural de \( p \).
  3. La incompatibilidad se conserva: \[ I(D_t) = I(D_{t+1}). \]

Intuitivamente, el defecto no se crea ni se destruye, sino que cambia de soporte estructural.

Definición 7.2.2 (Velocidad estructural)

Sea \( d \) la distancia mínima inducida definida en la Sección 6.3. La velocidad estructural de un modo propagante se define como:

\[ v = d(p_t, p_{t+1}). \]

Debido a la estructura discreta del grafo de adyacencia, la velocidad toma valores enteros no negativos.

Lema 7.2.3 (Limitación de propagación)

Todo modo propagante satisface: \[ v \leq 1. \]

Demostración:

Una evolución admisible solo permite modificaciones locales compatibles. Por definición, una modificación local afecta únicamente a poliedros adyacentes. Si \( d(p_t, p_{t+1}) \geq 2 \), el defecto habría desaparecido en su región original antes de reaparecer en una región no adyacente, lo cual viola la conservación de la incompatibilidad. Por tanto, \[ v \leq 1. \] \( \square \)

Teorema 7.2.4 (Conservación de la carga topológica)

Sea \( Q(D_t) \) la carga topológica asociada al defecto \( D_t \). Entonces, para todo modo propagante:

\[ Q(D_t) = Q(D_{t+1}). \]

Demostración:

La carga topológica es un invariante bajo transformaciones locales admisibles. Como la evolución \( \Phi_t \to \Phi_{t+1} \) es local y no elimina el defecto, la carga se preserva durante la propagación. \( \square \)

Interpretación estructural

Un modo propagante no es un objeto que “se mueve en el espacio”, sino una traslación de incompatibilidad a lo largo de la red estructural. El espacio emerge aquí como el registro de la pérdida progresiva de identidad entre configuraciones locales.

La propagación es, por tanto, una propiedad puramente relacional y no geométrica en sentido continuo.

Consecuencia fundacional

Los modos propagantes introducen:

  • dinámica sin ecuaciones diferenciales,
  • velocidades máximas estructurales,
  • conservación sin simetrías postuladas.

Estos elementos son precursores directos de nociones físicas como señal, transporte e interacción, y preparan el terreno para la introducción de estados ligados y espectros de estabilidad.

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