Capítulo 6 — 4. Conos causales discretos

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Sección 6.4

6.4 Conos causales discretos

En esta sección se introduce una noción puramente estructural de causalidad discreta, derivada de la distancia mínima inducida y de los pesos estructurales. No se presupone ninguna noción temporal ni dinámica; la causalidad se entiende como restricción de accesibilidad estructural.

Definición 6.4.1: Alcanzabilidad estructural acotada

Sean \( P, Q \in \mathcal{P} \) dos poliedros discretos. Se dice que \( Q \) es estructuralmente alcanzable desde \( P \) con cota \( r \in \mathbb{N} \) si:

\[ d(P,Q) \le r, \]

donde \( d \) es la distancia estructural inducida definida en la Sección 6.3.

Definición 6.4.2: Bola estructural de radio finito

La bola estructural centrada en \( P \) y de radio \( r \) se define como el conjunto:

\[ B_r(P) := \{ Q \in \mathcal{P} \mid d(P,Q) \le r \}. \]

Este conjunto recoge todas las configuraciones estructuralmente accesibles desde \( P \) bajo una cota de incompatibilidad acumulada.

Definición 6.4.3: Cono causal discreto

Se define el cono causal discreto asociado a \( P \) como la familia creciente de bolas estructurales:

\[ \mathcal{C}(P) := \{ B_r(P) \mid r \in \mathbb{N} \}. \]

El cono causal discreto codifica todas las configuraciones que pueden ser estructuralmente afectadas por \( P \) a través de caminos de incompatibilidad finita.

Observación 6.4.1

La inclusión \( B_r(P) \subseteq B_{r+1}(P) \) se sigue inmediatamente de la definición de distancia inducida, por lo que el cono causal es monótono creciente.

Proposición 6.4.1: Transitividad causal estructural

Si \( Q \in B_r(P) \) y \( R \in B_s(Q) \), entonces:

\[ R \in B_{r+s}(P). \]

Demostración:

Por definición, \( d(P,Q) \le r \) y \( d(Q,R) \le s \). Por la desigualdad triangular de la distancia inducida:

\[ d(P,R) \le d(P,Q) + d(Q,R) \le r + s. \]

Por lo tanto, \( R \in B_{r+s}(P) \). \(\square\)

Definición 6.4.4: Separación causal estructural

Dos poliedros \( P, Q \in \mathcal{P} \) se dicen estructuralmente separados si:

\[ d(P,Q) = +\infty. \]

En este caso no existe ningún camino estructural finito que conecte \( P \) con \( Q \), y por tanto no hay relación causal discreta entre ellos.

Observación 6.4.2

La causalidad discreta aquí definida:

  • no presupone orientación temporal,
  • no distingue pasado y futuro,
  • solo codifica restricciones de propagación estructural.

Cualquier flecha temporal solo podrá emerger posteriormente a partir de condiciones globales de minimización o asimetrías estructurales.

Proposición 6.4.2: Invarianza combinatoria

La relación de alcanzabilidad estructural es invariante bajo la acción del grupo combinatorio \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \).

Demostración:

La acción combinatoria preserva las relaciones de incidencia, los vértices compartidos y las incompatibilidades locales. Por lo tanto, preserva los pesos estructurales y, en consecuencia, la distancia inducida. \(\square\)

Observación 6.4.3

Los conos causales discretos constituyen la estructura mínima necesaria para definir propagación, influencia y correlación sin introducir tiempo ni geometría continua.

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