Capítulo 6 — 3. Distancia mínima inducida

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Sección 6.3

6.3. Distancia mínima inducida

En esta sección se introduce una noción de distancia puramente estructural entre poliedros discretos, inducida por los pesos definidos sobre caminos en el grafo de adyacencia. Esta distancia no es geométrica ni métrica a priori, sino una magnitud combinatoria derivada de incompatibilidades locales.

Definición 6.3.1: Distancia estructural inducida

Sean \( P, Q \in \mathcal{P} \) dos poliedros discretos. Se define la distancia estructural inducida entre \( P \) y \( Q \) como:

\[ d(P,Q) := \inf \left\{ W(\gamma) \;\middle|\; \gamma \text{ es un camino en } \mathcal{P} \text{ que conecta } P \text{ con } Q \right\}, \]

donde \( W(\gamma) \) denota el peso estructural del camino \( \gamma \) según la Definición 6.2.2.

Si no existe ningún camino que conecte \( P \) con \( Q \), se define \( d(P,Q) := +\infty \).

Observación 6.3.1

La distancia inducida está bien definida ya que el conjunto de caminos entre dos poliedros es finito o numerable y los pesos estructurales son números naturales no negativos.

Proposición 6.3.1: Propiedades básicas

La función \( d : \mathcal{P} \times \mathcal{P} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} \) satisface:

  • (No negatividad) \( d(P,Q) \ge 0 \) para todo \( P,Q \in \mathcal{P} \).
  • (Simetría) \( d(P,Q) = d(Q,P) \).
  • (Identidad débil) \( d(P,P) = 0 \) para todo \( P \in \mathcal{P} \).

Demostración:

La no negatividad se sigue de la no negatividad de los pesos. La simetría es consecuencia de la simetría del peso estructural en cada arista. La identidad débil se obtiene considerando el camino trivial de longitud cero. \(\square\)

Proposición 6.3.2: Desigualdad triangular

Para cualesquiera \( P,Q,R \in \mathcal{P} \), se cumple:

\[ d(P,R) \le d(P,Q) + d(Q,R). \]

Demostración:

Sea \( \gamma_1 \) un camino de peso mínimo entre \( P \) y \( Q \), y \( \gamma_2 \) un camino de peso mínimo entre \( Q \) y \( R \). La concatenación \( \gamma = \gamma_1 \ast \gamma_2 \) es un camino entre \( P \) y \( R \), y por aditividad del peso:

\[ W(\gamma) = W(\gamma_1) + W(\gamma_2). \]

Por definición del ínfimo:

\[ d(P,R) \le W(\gamma) = d(P,Q) + d(Q,R). \]

\(\square\)

Observación 6.3.2

La función \( d \) define una métrica generalizada sobre cada componente conexa de \( \mathcal{P} \), aunque puede ocurrir que \( d(P,Q) = 0 \) para poliedros distintos si sus estados locales son estructuralmente compatibles a lo largo de algún camino.

Definición 6.3.2: Componentes estructuralmente conexas

Se dice que dos poliedros \( P,Q \in \mathcal{P} \) pertenecen a la misma componente estructuralmente conexa si \( d(P,Q) < +\infty \).

El conjunto \( \mathcal{P} \) se descompone así en clases de conectividad estructural inducidas por la distancia mínima.

Observación 6.3.3

La distancia inducida no presupone ninguna noción de longitud, ángulo o continuidad. Cualquier interpretación geométrica solo puede surgir posteriormente como límite o promedio sobre grandes regiones estructuralmente homogéneas.

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