Capítulo 6 — 2. Pesos estructurales

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Sección 6.2

6.2. Pesos estructurales

En esta sección se introducen pesos puramente estructurales asociados a las relaciones de adyacencia entre poliedros discretos, definidos exclusivamente en términos de compatibilidad local y estructura combinatoria. Estos pesos no representan magnitudes físicas ni métricas, sino grados de coherencia estructural.

Definición 6.2.1: Peso estructural entre poliedros adyacentes

Sean \( P, Q \in \mathcal{P} \) dos dodecaedros rómbicos adyacentes, y sea \( V(P,Q) \subset V(\mathrm{RD}) \) el conjunto de vértices compartidos entre ambos.

Sea \( p_P : V(\mathrm{RD}) \to \{0,1\} \) y \( p_Q : V(\mathrm{RD}) \to \{0,1\} \) los estados locales asociados a \( P \) y \( Q \), respectivamente.

Se define el peso estructural entre \( P \) y \( Q \) como:

\[ w(P,Q) := \sum_{v \in V(P,Q)} \left| p_P(v) - p_Q(v) \right|. \]

Este valor cuantifica el grado de incompatibilidad local restringido a la interfaz estructural entre ambos poliedros.

Observación 6.2.1

Se tiene:

  • \( w(P,Q) = 0 \) si y solo si los estados locales coinciden en todos los vértices compartidos.
  • \( w(P,Q) \in \mathbb{N} \) y está acotado superiormente por \( |V(P,Q)| \).
  • El peso es simétrico: \( w(P,Q) = w(Q,P) \).

Definición 6.2.2: Peso estructural de un camino

Sea \( \gamma = (P_0, P_1, \dots, P_n) \) un camino en el grafo de adyacencia \( G = (\mathcal{P}, \mathcal{A}) \).

Se define el peso estructural del camino \( \gamma \) como:

\[ W(\gamma) := \sum_{k=0}^{n-1} w(P_k, P_{k+1}). \]

Este valor mide la incompatibilidad estructural acumulada a lo largo del camino.

Definición 6.2.3: Camino estructuralmente mínimo

Un camino \( \gamma \) entre dos poliedros \( P, Q \in \mathcal{P} \) se dice estructuralmente mínimo si:

\[ W(\gamma) = \min \{ W(\gamma') \mid \gamma' \text{ es un camino entre } P \text{ y } Q \}. \]

La minimalidad es puramente combinatoria y no depende de ninguna noción de distancia geométrica.

Proposición 6.2.1: No negatividad y aditividad

El peso estructural satisface:

  • \( W(\gamma) \ge 0 \) para todo camino \( \gamma \).
  • Si un camino \( \gamma \) se descompone como concatenación \( \gamma = \gamma_1 \ast \gamma_2 \), entonces: \[ W(\gamma) = W(\gamma_1) + W(\gamma_2). \]

Demostración:

La no negatividad se sigue de que cada término \( |p_P(v) - p_Q(v)| \) es no negativo. La aditividad es consecuencia directa de la definición como suma finita sobre aristas consecutivas del camino. \(\square\)

Observación 6.2.2

Los pesos estructurales no definen una métrica en \( \mathcal{P} \), ya que no satisfacen necesariamente la identidad de los indiscernibles globales ni la desigualdad triangular sin restricciones adicionales. Su función es codificar restricciones locales de compatibilidad.

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