Capítulo 5 — 4. Emergencia de flecha temporal

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Sección 5.4

5.4 Emergencia de flecha temporal

En esta sección se introduce una noción de orientación global entre configuraciones, definida exclusivamente a partir del funcional global de incompatibilidad \( \mathcal{I} \), sin postular una variable temporal primitiva.

Definición 5.4.1 (Relación de precedencia estructural)

Sean \( \Phi, \Psi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) dos configuraciones globales. Se dice que \( \Phi \) precede estructuralmente a \( \Psi \), y se escribe \( \Phi \prec \Psi \), si existe una trayectoria de minimización

\[ \Phi = \Phi_0 \rightsquigarrow \Phi_1 \rightsquigarrow \cdots \rightsquigarrow \Phi_n = \Psi. \]

Lema 5.4.2 (Antisimetría)

Si \( \Phi \prec \Psi \) y \( \Psi \prec \Phi \), entonces \( \Phi = \Psi \).

Demostración. A lo largo de toda trayectoria de minimización, el valor de \( \mathcal{I} \) disminuye estrictamente. Por tanto, no pueden existir trayectorias no triviales en ambos sentidos. \( \square \)

Lema 5.4.3 (Transitividad)

La relación \( \prec \) es transitiva.

Demostración. Si existe una trayectoria de minimización de \( \Phi \) a \( \Psi \) y otra de \( \Psi \) a \( \Omega \), su concatenación define una trayectoria válida de \( \Phi \) a \( \Omega \). \( \square \)

Proposición 5.4.4 (Orden parcial inducido)

La relación \( \prec \) define un orden parcial estricto sobre el conjunto de configuraciones globales.

Demostración. Se sigue directamente de la antisimetría y transitividad demostradas en los lemas anteriores. \( \square \)

Definición 5.4.5 (Flecha estructural)

Se denomina flecha estructural a la orientación inducida por el orden parcial \( (\mathcal{F}, \prec) \), donde \( \mathcal{F} \) es el conjunto de configuraciones globales alcanzables por minimización.

Dicha flecha no depende de elecciones externas, no es reversible en general, y está completamente determinada por la estructura combinatoria y las reglas de compatibilidad.

Corolario 5.4.6 (Irreversibilidad estructural)

No existen ciclos no triviales en la relación de precedencia estructural.

Demostración. Un ciclo implicaría una disminución estricta y simultánea del funcional \( \mathcal{I} \), lo cual es imposible. \( \square \)

Teorema 5.3.7 (Reducción monotónica de la incompatibilidad)

Toda evolución admisible reduce la incompatibilidad total.

Más precisamente, si \( \Phi \rightsquigarrow \Psi \) es una evolución admisible, entonces:

\[ \mathcal{I}(\Psi) < \mathcal{I}(\Phi). \]

Demostración.

Por definición, una evolución admisible consiste en una sucesión finita de pasos elementales de minimización:

\[ \Phi = \Phi_0 \rightsquigarrow \Phi_1 \rightsquigarrow \cdots \rightsquigarrow \Phi_n = \Psi, \]

donde cada transición \( \Phi_k \rightsquigarrow \Phi_{k+1} \) es un paso elemental de minimización.

Por la Definición 5.3.1, cada paso elemental satisface:

\[ \mathcal{I}(\Phi_{k+1}) < \mathcal{I}(\Phi_k). \]

Por transitividad estricta de la desigualdad, se obtiene:

\[ \mathcal{I}(\Psi) = \mathcal{I}(\Phi_n) < \mathcal{I}(\Phi_{n-1}) < \cdots < \mathcal{I}(\Phi_0) = \mathcal{I}(\Phi). \]

Por lo tanto, toda evolución admisible reduce estrictamente la incompatibilidad total. \( \square \)

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