Capítulo 5 — 3. Evolución por minimización

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Sección 5.3

5.3 Evolución por minimización

Sea \( \mathcal{P} \) el conjunto de poliedros, \( \mathcal{C} \) el conjunto de estados locales admisibles, y \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una configuración global.

La evolución de configuraciones se define exclusivamente en términos del funcional global de incompatibilidad \( \mathcal{I} \), sin introducir nociones externas adicionales.

Definición 5.3.1 (Paso elemental de minimización)

Sea \( \Phi \) una configuración global. Se dice que \( \Phi' \) es un paso elemental de minimización de \( \Phi \) si existe un único poliedro \( P \in \mathcal{P} \) tal que:

  • \( \Phi'(Q) = \Phi(Q) \) para todo \( Q \neq P \),
  • \( \mathcal{I}(\Phi') < \mathcal{I}(\Phi) \).

En tal caso se escribe \( \Phi \rightsquigarrow \Phi' \).

Definición 5.3.2 (Trayectoria de minimización)

Una trayectoria de minimización es una sucesión finita o numerable de configuraciones

\[ \Phi_0 \rightsquigarrow \Phi_1 \rightsquigarrow \cdots \rightsquigarrow \Phi_n \rightsquigarrow \cdots \]

tal que cada \( \Phi_{k+1} \) es un paso elemental de minimización de \( \Phi_k \).

Definición 5.3.3 (Configuración estable)

Una configuración global \( \Phi \) se dice estable si no existe ninguna configuración \( \Phi' \) tal que \( \Phi \rightsquigarrow \Phi' \).

Equivalentemente, \( \Phi \) es estable si y solo si constituye un mínimo local del funcional \( \mathcal{I} \).

Lema 5.3.4 (Monotonía estricta)

A lo largo de toda trayectoria de minimización, el valor del funcional global de incompatibilidad es estrictamente decreciente.

Demostración. Por definición de paso elemental de minimización, cada transición \( \Phi_k \rightsquigarrow \Phi_{k+1} \) satisface \( \mathcal{I}(\Phi_{k+1}) < \mathcal{I}(\Phi_k) \). \( \square \)

Proposición 5.3.5 (Terminación finita)

Toda trayectoria de minimización es finita y termina en una configuración estable.

Demostración. El funcional \( \mathcal{I} \) toma valores en \( \mathbb{N} \) y es estrictamente decreciente a lo largo de la trayectoria. Por tanto, no pueden existir sucesiones infinitas estrictamente decrecientes, y la trayectoria debe terminar en un mínimo local. \( \square \)

Corolario 5.3.6 (Existencia de configuraciones estables)

Para toda configuración inicial \( \Phi_0 \), existe al menos una configuración estable \( \Phi_\ast \) alcanzable mediante una trayectoria de minimización.

Demostración. Se sigue directamente de la Proposición 5.3.5. \( \square \)

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