Capítulo 5 — 2. Funcional global de incompatibilidad

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Sección 5.2

5.2 Funcional global de incompatibilidad

Sea \( \mathcal{P} \) el conjunto de poliedros, \( \mathcal{C} \) el conjunto de estados locales admisibles, y \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una configuración global.

Sea además \( \sim \) la relación de adyacencia por vértices compartidos definida en la Sección 4.1, y para cada par adyacente \( (P,Q) \in \mathcal{P} \times \mathcal{P} \) sea \( \chi(P,Q) \in \{0,1\} \) la función indicadora de incompatibilidad local, definida por:

\[ \chi(P,Q) := \begin{cases} 0, & \text{si } \Phi(P) \text{ y } \Phi(Q) \text{ son compatibles}, \\ 1, & \text{si } \Phi(P) \text{ y } \Phi(Q) \text{ son incompatibles}. \end{cases} \]

Se define el funcional global de incompatibilidad asociado a la configuración \( \Phi \) como la aplicación:

\[ \mathcal{I}(\Phi) := \sum_{\substack{(P,Q) \in \mathcal{P} \times \mathcal{P} \\ P \sim Q}} \chi(P,Q), \]

donde la suma se toma sobre todos los pares no ordenados de poliedros adyacentes.

El valor \( \mathcal{I}(\Phi) \) cuantifica el número total de incompatibilidades estructurales presentes en la configuración global \( \Phi \).

Una configuración global \( \Phi \) se dice globalmente compatible si y solo si:

\[ \mathcal{I}(\Phi) = 0. \]

En caso contrario, los pares \( (P,Q) \) para los cuales \( \chi(P,Q) = 1 \) se denominan defectos estructurales de la configuración.

Consecuencias formales del funcional global de incompatibilidad

Lema 5.2.1 (No negatividad)

Para toda configuración global \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \), se cumple:

\[ \mathcal{I}(\Phi) \ge 0. \]

Demostración. Por definición, \( \chi(P,Q) \in \{0,1\} \) para todo par de poliedros adyacentes. La suma de términos no negativos es no negativa. \( \square \)

Lema 5.2.2 (Carácter local del funcional)

El valor del funcional \( \mathcal{I}(\Phi) \) depende únicamente de las relaciones de compatibilidad entre pares de poliedros adyacentes.

Demostración. La suma que define \( \mathcal{I}(\Phi) \) se toma exclusivamente sobre pares \( (P,Q) \) tales que \( P \sim Q \). Los estados asignados a poliedros no adyacentes no contribuyen al valor del funcional. \( \square \)

Proposición 5.2.3 (Equivalencia con compatibilidad global)

Una configuración global \( \Phi \) es globalmente compatible si y solo si todas las compatibilidades locales se satisfacen:

\[ \mathcal{I}(\Phi) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \forall\, P \sim Q,\; \Phi(P) \text{ y } \Phi(Q) \text{ son compatibles}. \]

Demostración. Por definición, \( \mathcal{I}(\Phi)=0 \) si y solo si todos los términos \( \chi(P,Q) \) son nulos. Esto equivale a la compatibilidad local para todo par adyacente. \( \square \)

Proposición 5.2.4 (Monotonía por modificación local)

Sea \( \Phi' \) una configuración obtenida de \( \Phi \) modificando el estado local de un único poliedro \( P \). Entonces la variación

\[ \mathcal{I}(\Phi') - \mathcal{I}(\Phi) \]

depende exclusivamente de los poliedros adyacentes a \( P \).

Demostración. Todos los términos \( \chi(Q,R) \) con \( Q,R \neq P \) permanecen invariantes. Solo pueden cambiar los términos \( \chi(P,Q) \) con \( Q \sim P \). \( \square \)

Corolario 5.2.5 (Localización de defectos)

Todo defecto estructural está asociado a al menos un par de poliedros adyacentes.

Demostración. Por definición, los defectos estructurales son exactamente los pares \( (P,Q) \) para los cuales \( \chi(P,Q)=1 \). \( \square \)

Proposición 5.2.6 (Invarianza por equivalencia estructural local)

Sean \( \Phi \) y \( \Psi \) dos configuraciones globales tales que, para todo poliedro \( P \), los estados \( \Phi(P) \) y \( \Psi(P) \) pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural. Entonces:

\[ \mathcal{I}(\Phi) = \mathcal{I}(\Psi). \]

Demostración. La compatibilidad entre estados locales depende únicamente de sus clases de equivalencia estructural. Por tanto, todos los valores de \( \chi(P,Q) \) coinciden para ambas configuraciones. \( \square \)

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