Capítulo 5 — 1. Configuración global Φ:P→C\Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C}Φ:P→C

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Sección 5.1

5.1 Configuración global

En este capítulo se introduce el concepto de configuración global como objeto matemático que codifica simultáneamente la asignación de estados locales a todos los poliedros de una teselación combinatoria del espacio.

Esta noción permite pasar del análisis local a propiedades globales del sistema, sin introducir aún nociones dinámicas, temporales ni geométricas.

Definición 5.1.1: Conjunto de configuraciones locales

Sea \( \mathcal{P} \) una teselación combinatoria del espacio por copias del dodecaedro rómbico. Denotemos por \( \mathcal{C} \) el conjunto de todos los estados locales estructuralmente admisibles, esto es,

\[ \mathcal{C} \;:=\; \bigcup_{P \in \mathcal{P}} \mathcal{S}(P), \]

donde \( \mathcal{S}(P) \) es el conjunto de estados locales definidos sobre el conjunto de vértices del poliedro \( P \).

Definición 5.1.2: Configuración global

Una configuración global es una aplicación

\[ \Phi : \mathcal{P} \longrightarrow \mathcal{C}, \]

tal que a cada poliedro \( P \in \mathcal{P} \) le asigna un estado local \( \Phi(P) = p_P \in \mathcal{S}(P) \).

La configuración global representa el estado completo del sistema a nivel estructural.

Observación 5.1.3: Naturaleza combinatoria de la configuración

La definición de configuración global no presupone:

  • continuidad espacial,
  • noción de distancia o métrica,
  • interpretación física de los valores asignados.

Toda la información contenida en \( \Phi \) está codificada en términos de relaciones de adyacencia y compatibilidad en vértices compartidos.

Definición 5.1.4: Restricción local de una configuración

Sea \( \Phi : \mathcal{P} \to \mathcal{C} \) una configuración global y sea \( \mathcal{P}' \subseteq \mathcal{P} \) un subconjunto de poliedros. La restricción de \( \Phi \) a \( \mathcal{P}' \) se define como la aplicación

\[ \Phi|_{\mathcal{P}'} : \mathcal{P}' \to \mathcal{C}, \qquad \Phi|_{\mathcal{P}'}(P) = \Phi(P). \]

Esta noción permite estudiar configuraciones parciales y subestructuras finitas dentro de una configuración global.

Definición 5.1.5: Configuración global compatible

Una configuración global \( \Phi \) se dice compatible si para todo par de poliedros adyacentes \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \), los estados locales \( \Phi(P_1) \) y \( \Phi(P_2) \) son compatibles en el sentido de la Definición 4.2.1.

En caso contrario, la configuración presenta al menos un defecto estructural.

Proposición 5.1.6: Correspondencia con compatibilidad perfecta

Una configuración global es compatible si y solo si es perfectamente compatible en el sentido de la Definición 4.3.1.

Demostración:

La compatibilidad global exige compatibilidad en todos los pares adyacentes. Esto coincide exactamente con la definición de compatibilidad perfecta introducida previamente. \( \square \)

Observación 5.1.7

La noción de configuración global constituye el nivel más básico de descripción total del sistema. A partir de ella podrán definirse:

  • sectores estructurales,
  • estados homogéneos y no homogéneos,
  • transiciones estructurales entre configuraciones.

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