Capítulo 4 — 4. Restricciones de compatibilidad entre estados adyacentes

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Sección 4.4

4.4 Homogeneidad estructural global

En esta sección se introduce la noción de homogeneidad estructural como propiedad global de una asignación de estados locales sobre una teselación combinatoria del espacio. Dicha noción se define exclusivamente en términos de compatibilidad, adyacencia y equivalencia estructural, sin introducir geometría ni interpretación física.

Definición 4.4.1: Homogeneidad estructural global

Sea \( \mathcal{P} \) una teselación combinatoria del espacio por copias del dodecaedro rómbico, y sea \( \Phi : \mathcal{P} \to \bigcup_{P \in \mathcal{P}} \mathcal{S}(P) \) una asignación de estados locales. Se dice que \( \Phi \) es estructuralmente homogénea si se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

  • (Compatibilidad global) La asignación \( \Phi \) es perfectamente compatible en el sentido de la Definición 4.3.1.
  • (Equivalencia estructural local) Para cualesquiera \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \), los estados \( p_{P_1} \) y \( p_{P_2} \) pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural.

Lema 4.4.2: Invariancia bajo reindexación combinatoria

La homogeneidad estructural global es invariante bajo la acción del grupo \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) aplicada uniformemente a todos los estados locales.

Demostración:

La acción de \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) reindexa los vértices de cada poliedro sin alterar las relaciones de adyacencia ni de incidencia. Dado que:

  • la compatibilidad depende solo de la igualdad en vértices compartidos,
  • la equivalencia estructural está definida como pertenencia a la misma órbita bajo dicha acción,

ambas condiciones que definen la homogeneidad estructural se preservan bajo la acción del grupo. \( \square \)

Proposición 4.4.3: Unicidad de la clase estructural global

Si \( \Phi \) es estructuralmente homogénea, entonces existe una única clase de equivalencia estructural \( [p] \) tal que \( p_P \in [p] \) para todo \( P \in \mathcal{P} \).

Demostración:

Por definición, todos los estados locales son estructuralmente equivalentes entre sí. La transitividad de la relación de equivalencia garantiza la existencia de una única clase común. \( \square \)

Definición 4.4.4: Ruptura de homogeneidad estructural

Se dice que una asignación de estados locales \( \Phi \) presenta una ruptura de homogeneidad estructural si no satisface alguna de las condiciones de la Definición 4.4.1.

En particular, la ruptura puede deberse a:

  • la presencia de defectos locales,
  • la coexistencia de estados pertenecientes a distintas clases de equivalencia estructural.

Observación 4.4.5

La homogeneidad estructural global no implica uniformidad punto a punto de los valores de tensión, sino indistinguibilidad estructural de los estados locales y ausencia de defectos.

Esta noción constituye un criterio puramente combinatorio de regularidad global, sobre el cual podrán definirse, en capítulos posteriores, nociones emergentes de estabilidad, fluctuación y excitación efectiva.

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