Capítulo 4 — 3. Restricciones de compatibilidad entre estados adyacentes

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Sección 4.3

4.3 Compatibilidad perfecta y defectos

En esta sección se introducen nociones globales de compatibilidad definidas exclusivamente en términos de estados locales y relaciones de adyacencia combinatoria. No se presupone ninguna interpretación física ni geométrica.

Definición 4.3.1: Compatibilidad perfecta

Sea \( \mathcal{P} \) una teselación combinatoria del espacio por copias del dodecaedro rómbico. Una asignación de estados locales

\[ \Phi : \mathcal{P} \longrightarrow \bigcup_{P \in \mathcal{P}} \mathcal{S}(P), \qquad P \longmapsto p_P, \]

se dice perfectamente compatible si para todo par de poliedros adyacentes \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \), los estados \( p_{P_1} \) y \( p_{P_2} \) son compatibles en el sentido de la Definición 4.2.1.

Es decir, se exige que:

\[ t^{(P_1)}_v = t^{(P_2)}_v \quad \text{para todo } v \in \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2), \]

para todo par adyacente \( (P_1,P_2) \).

Definición 4.3.2: Defecto local

Sea \( \Phi \) una asignación arbitraria de estados locales. Se dice que existe un defecto local en el par adyacente \( (P_1,P_2) \) si los estados \( p_{P_1} \) y \( p_{P_2} \) no satisfacen la condición de compatibilidad.

Equivalentemente, existe un defecto local si y solo si:

\[ \exists\, v \in \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \quad \text{tal que} \quad t^{(P_1)}_v \neq t^{(P_2)}_v. \]

Definición 4.3.3: Soporte de un defecto

Dado un defecto local entre \( P_1 \) y \( P_2 \), se define el soporte del defecto como el subconjunto:

\[ \mathcal{D}(P_1,P_2) = \bigl\{ v \in \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \;\big|\; t^{(P_1)}_v \neq t^{(P_2)}_v \bigr\}. \]

Este conjunto es no vacío y está determinado únicamente por la estructura de adyacencia y los estados locales.

Proposición 4.3.4: Ausencia de defectos y consistencia global

Una asignación \( \Phi \) es perfectamente compatible si y solo si no existen defectos locales en ningún par de poliedros adyacentes.

Demostración:

La afirmación se sigue directamente de las definiciones de compatibilidad perfecta y defecto local. La compatibilidad perfecta exige igualdad en todos los vértices compartidos, mientras que la existencia de un defecto es precisamente la violación de dicha igualdad.

Definición 4.3.5: Defecto finito

Se dice que una asignación de estados locales \( \Phi \) presenta un defecto finito si el conjunto de pares adyacentes que contienen defectos locales es finito.

En caso contrario, se dice que el defecto es extendido.

Observación 4.3.6

Las nociones introducidas en esta sección son puramente combinatorias. En particular:

  • no se ha introducido ninguna noción de distancia,
  • no se ha postulado ninguna dinámica,
  • no se ha atribuido interpretación física alguna a los defectos.

Estas interpretaciones, si se introducen, deberán surgir en niveles posteriores del desarrollo.

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