Capítulo 4 — 2. Restricciones de compatibilidad entre estados adyacentes

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Sección 4.2

Definición 4.2.1: Estado local

Sea \( P \in \mathcal{P} \) una copia del dodecaedro rómbico dentro de una teselación combinatoria del espacio. Se denomina estado local asociado a \( P \) a toda asignación

\[ p : \mathcal{V}(P) \longrightarrow \{0,1\}, \]

donde \( \mathcal{V}(P) \) denota el conjunto de vértices de \( P \).

El conjunto de todos los estados locales posibles de \( P \) se denota por \( \mathcal{S}(P) \).

Observación 4.2.2

Dado que el dodecaedro rómbico posee exactamente \(14\) vértices, toda asignación \( p \in \mathcal{S}(P) \) puede representarse de manera equivalente mediante un vector binario

\[ \mathbf{t}(p) = (t_1(p), \dots, t_{14}(p)) \in \{0,1\}^{14}, \]

una vez fijado un etiquetado de los vértices de \( P \).

Esta representación vectorial no introduce estructura adicional y depende únicamente de una elección de indexación combinatoria.

Observación 4.2.3

No se impone ninguna restricción adicional sobre las asignaciones \( p \) en esta etapa. En particular, todos los elementos de \( \{0,1\}^{14} \) definen estados locales admisibles.


Restricciones de compatibilidad entre estados adyacentes

Sea \( \mathcal{P} \) una teselación combinatoria del espacio por copias del dodecaedro rómbico. A cada poliedro \( P \in \mathcal{P} \) se le asocia un estado local \( p \), caracterizado por un vector de tensión

\[ \mathbf{t}(p) = (t_1(p), \dots, t_{14}(p)) \in \{0,1\}^{14}, \]

indexado por los vértices de \( P \).

Definición 4.2.1: Restricción de compatibilidad local

Sean \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \) dos poliedros adyacentes, y sean \( p_1, p_2 \) sus respectivos estados locales. Se dice que \( p_1 \) y \( p_2 \) son compatibles si y solo si sus vectores de tensión coinciden en todos los vértices compartidos:

\[ t^{(1)}_v = t^{(2)}_v \quad \text{para todo } v \in \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2). \]

Esta condición se denomina restricción de compatibilidad por adyacencia.

Lema 4.2.2: Invariancia bajo reindexación combinatoria

La restricción de compatibilidad es invariante bajo la acción del grupo \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) sobre los vectores de tensión.

Demostración:

Sea \( g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \). La acción de \( g \) reindexa los vértices del poliedro preservando la estructura de incidencia. Por definición,

\[ (g \cdot \mathbf{t})_v = t_{g^{-1}(v)}. \]

Si \( v \) es un vértice compartido entre \( P_1 \) y \( P_2 \), entonces \( g^{-1}(v) \) también lo es. Por lo tanto,

\[ t^{(1)}_{g^{-1}(v)} = t^{(2)}_{g^{-1}(v)} \quad \Rightarrow \quad (g \cdot \mathbf{t}^{(1)})_v = (g \cdot \mathbf{t}^{(2)})_v. \]

La condición de compatibilidad se preserva.

Definición 4.2.3: Conjunto de estados compatibles

Sea \( P \in \mathcal{P} \) un poliedro fijo y sea \( \mathcal{B}(P) \subset \mathcal{P} \) el conjunto de poliedros adyacentes a \( P \). Se define el conjunto de estados compatibles con un estado \( p \) como:

\[ \mathcal{C}(p) = \bigl\{ q \;\big|\; q \text{ es estado local de algún } Q \in \mathcal{B}(P), \; q \sim p \bigr\}, \]

donde \( q \sim p \) denota compatibilidad en el sentido de la Definición 4.2.1.

Proposición 4.2.4: Dependencia exclusiva de la intersección

La compatibilidad entre dos estados locales depende únicamente del conjunto de vértices compartidos y es independiente de los valores de tensión en los vértices no compartidos.

Demostración:

Por definición, la condición de compatibilidad impone igualdad solo en los vértices \( v \in \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \). No se introduce ninguna restricción adicional sobre los restantes vértices. Por lo tanto, la compatibilidad está completamente determinada por la intersección combinatoria.

Corolario 4.2.5: Grados de libertad residuales

Sea \( k = |\mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2)| \). Entonces, dado un estado \( p_1 \) en \( P_1 \), el número de estados compatibles posibles en \( P_2 \) es \( 2^{14-k} \).

Este número depende exclusivamente del tipo de adyacencia entre \( P_1 \) y \( P_2 \).

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