Capítulo 4 — 1. Definición de vértices compartidos

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Sección 4.1

Definición 4.1.1: Copias combinatorias del dodecaedro rómbico

Sea \( \mathrm{RD} \) el dodecaedro rómbico considerado como un poliedro puramente combinatorio, especificado por sus conjuntos de vértices, aristas y caras, junto con sus relaciones de incidencia.

Una copia combinatoria de \( \mathrm{RD} \) es un poliedro \( P \) tal que existe un isomorfismo combinatorio

\[ \phi_P : \mathrm{RD} \longrightarrow P, \]

es decir, una biyección que preserva exactamente las relaciones de incidencia entre vértices, aristas y caras.

Se denota por \( \mathcal{P} \) el conjunto de todas las copias combinatorias de \( \mathrm{RD} \) que participan en la teselación discreta.

4.1.2 Definición de vértices compartidos

Sea \( \mathcal{P} \) un conjunto de copias del dodecaedro rómbico que teselan el espacio discreto, y sea \( P \in \mathcal{P} \) una copia fija del dodecaedro rómbico. Denotemos por \( \mathcal{V}(P) \) el conjunto de vértices de \( P \), con \( |\mathcal{V}(P)| = 14 \).

Sean \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \) dos poliedros distintos. Se dice que \( P_1 \) y \( P_2 \) comparten un vértice si el conjunto intersección

\[ \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \]

es no vacío.

Un vértice \( v \) se denomina vértice compartido entre \( P_1 \) y \( P_2 \) si:

\[ v \in \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2). \]

El conjunto de todos los vértices compartidos entre \( P_1 \) y \( P_2 \) se denota por:

\[ \mathcal{V}(P_1, P_2) := \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2). \]

4.1.3 Definición de poliedros adyacentes (por vértices compartidos)

Sea \( \mathcal{P} \) el conjunto de copias combinatorias del dodecaedro rómbico, y sean \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \) dos poliedros distintos.

Se dice que \( P_1 \) y \( P_2 \) son poliedros adyacentes si y solo si comparten al menos un vértice, es decir, si:

\[ \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \neq \varnothing. \]

En tal caso, el conjunto \( \mathcal{V}(P_1, P_2) = \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \) se denomina el conjunto de vértices de adyacencia entre \( P_1 \) y \( P_2 \).

La relación de adyacencia así definida es simétrica y antirreflexiva sobre \( \mathcal{P} \).

4.1.4 Cardinalidad del conjunto de vértices compartidos

Sean \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \) dos poliedros adyacentes por vértices compartidos, y sea

\[ \mathcal{V}(P_1, P_2) := \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \]

el conjunto de vértices comunes entre ambos. Se define la cardinalidad de adyacencia entre \( P_1 \) y \( P_2 \) como el entero:

\[ k(P_1, P_2) := \bigl| \mathcal{V}(P_1, P_2) \bigr|. \]

Dado que cada dodecaedro rómbico posee exactamente \(14\) vértices, se cumple necesariamente:

\[ 1 \le k(P_1, P_2) \le 14. \]

El valor \( k(P_1, P_2) \) clasifica el tipo de adyacencia entre \( P_1 \) y \( P_2 \), y constituye un invariante puramente combinatorio de la relación de adyacencia.

En particular, dos pares de poliedros adyacentes \( (P_1, P_2) \) y \( (P'_1, P'_2) \) son estructuralmente equivalentes respecto de su adyacencia si y solo si:

\[ k(P_1, P_2) = k(P'_1, P'_2). \]

Teorema 4.1.5: Restricción combinatoria de vértices compartidos

Sea \( \mathcal{P} \) una teselación combinatoria del espacio por copias del dodecaedro rómbico, y sean \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \) dos poliedros distintos. Entonces, la cardinalidad del conjunto de vértices compartidos

\[ k(P_1,P_2) = \bigl| \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \bigr| \]

solo puede tomar los valores:

\[ k(P_1,P_2) \in \{0,1,2,4\}. \]

En particular, no existen pares de poliedros distintos que compartan exactamente \(3\) vértices ni ningún otro número distinto de los anteriores.

Demostración:

Cada dodecaedro rómbico posee una estructura combinatoria finita compuesta por:

  • un conjunto finito de vértices \( \mathcal{V} \),
  • un conjunto de aristas que conectan pares de vértices,
  • un conjunto de caras rómbicas, cada una determinada por exactamente cuatro vértices.

Sea \( P_1 \neq P_2 \) y supóngase que comparten vértices. El conjunto \( \mathcal{V}(P_1) \cap \mathcal{V}(P_2) \) debe corresponder a una subestructura definida exclusivamente por relaciones de incidencia y compatible con la teselación combinatoria.

Las únicas subestructuras propias del dodecaedro rómbico determinadas únicamente por vértices y cerradas bajo incidencia son:

  • un vértice aislado (cardinalidad \(1\));
  • el par de vértices extremos de una arista (cardinalidad \(2\));
  • el conjunto de cuatro vértices que determinan una cara rómbica (cardinalidad \(4\)).

No existe ninguna subestructura propia del dodecaedro rómbico determinada únicamente por vértices con cardinalidad \(3\) ni con cardinalidad mayor que \(4\) y menor que \(14\).

Por lo tanto, si \( P_1 \neq P_2 \), la intersección de sus conjuntos de vértices solo puede tener \(0\), \(1\), \(2\) o \(4\) elementos. \( \square \)

Definición 4.1.6: Clasificación de tipos de adyacencia

Sean \( P_1, P_2 \in \mathcal{P} \) dos poliedros distintos tales que \( \mathcal{V}(P_1)\cap\mathcal{V}(P_2)\neq\varnothing \). Se define el tipo de adyacencia entre \( P_1 \) y \( P_2 \) según el valor de \( k(P_1,P_2) \) como sigue:

  • Adyacencia puntual: \( k(P_1,P_2)=1 \). Los poliedros comparten exactamente un vértice.
  • Adyacencia lineal: \( k(P_1,P_2)=2 \). Los poliedros comparten una arista.
  • Adyacencia superficial: \( k(P_1,P_2)=4 \). Los poliedros comparten una cara.

Esta clasificación es exhaustiva para poliedros distintos en una teselación combinatoria por dodecaedros rómbicos y depende únicamente de la estructura de incidencia.

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