Capítulo 3 — 4. Acción del grupo combinatorio asociado al dodecaedro rómbico

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Sección 3.4

Definición 3.4.1: Relación de equivalencia estructural

Sea \( \mathcal{T} = \{0,1\}^{14} \) el conjunto de configuraciones de tensión asociadas a los vértices del dodecaedro rómbico, y sea \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) el grupo combinatorio del dodecaedro rómbico, que actúa sobre \( \mathcal{T} \) según:

\[ (g \cdot \mathbf{t})_i := t_{g^{-1}(i)}, \qquad i = 1,\dots,14. \]

Se define una relación \( \sim \) sobre \( \mathcal{T} \) por:

\[ \mathbf{t} \sim \mathbf{t}' \;\;\Longleftrightarrow\;\; \exists\, g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \text{ tal que } \mathbf{t}' = g \cdot \mathbf{t}. \]
---

Lema 3.4.2: La relación \( \sim \) es una relación de equivalencia

Demostración.

Se verifican las tres propiedades definitorias:

  • (Reflexividad) Para todo \( \mathbf{t} \in \mathcal{T} \), el elemento identidad \( e \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) satisface \( e \cdot \mathbf{t} = \mathbf{t} \). Luego, \( \mathbf{t} \sim \mathbf{t} \).
  • (Simetría) Si \( \mathbf{t} \sim \mathbf{t}' \), existe \( g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) tal que \( \mathbf{t}' = g \cdot \mathbf{t} \). Como \( g \) es una biyección, su inverso \( g^{-1} \) pertenece a \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \), y se tiene \( \mathbf{t} = g^{-1} \cdot \mathbf{t}' \). Por tanto, \( \mathbf{t}' \sim \mathbf{t} \).
  • (Transitividad) Si \( \mathbf{t} \sim \mathbf{t}' \) y \( \mathbf{t}' \sim \mathbf{t}'' \), existen \( g,h \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) tales que \( \mathbf{t}' = g \cdot \mathbf{t} \) y \( \mathbf{t}'' = h \cdot \mathbf{t}' \). Entonces \( \mathbf{t}'' = (hg) \cdot \mathbf{t} \), con \( hg \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \), y por tanto \( \mathbf{t} \sim \mathbf{t}'' \).

Se concluye que \( \sim \) es una relación de equivalencia sobre \( \mathcal{T} \).

---

Definición 3.4.3: Clase de equivalencia estructural

Sea \( \mathbf{t} \in \mathcal{T} \). Se define la clase de equivalencia estructural asociada a \( \mathbf{t} \) como el subconjunto:

\[ [\mathbf{t}] := \{\, g \cdot \mathbf{t} \;|\; g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \,\} \;\subseteq\; \mathcal{T}. \]

Equivalentemente, \( [\mathbf{t}] \) es la órbita de \( \mathbf{t} \) bajo la acción del grupo combinatorio del dodecaedro rómbico.

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Observación 3.4.4

Dos configuraciones de tensión \( \mathbf{t}, \mathbf{t}' \in \mathcal{T} \) pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural si y solo si no existe ningún invariante definido exclusivamente en términos de la estructura combinatoria del dodecaedro rómbico que permita distinguirlas.

Teorema 3.4.5: Indistinguibilidad estructural

Sean \( \mathbf{t}, \mathbf{t}' \in \mathcal{T} = \{0,1\}^{14} \) dos configuraciones de tensión. Entonces, \( \mathbf{t} \) y \( \mathbf{t}' \) pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural si y solo si no existe ningún invariante definido exclusivamente en términos de la estructura combinatoria del dodecaedro rómbico que permita distinguirlas.

Demostración.

(Solo si) Supóngase que \( \mathbf{t} \sim \mathbf{t}' \). Entonces existe \( g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) tal que \( \mathbf{t}' = g \cdot \mathbf{t} \). Sea \( I : \mathcal{T} \to X \) un invariante bajo la acción del grupo, es decir,

\[ I(g \cdot \mathbf{s}) = I(\mathbf{s}) \quad \text{para todo } g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}), \; \mathbf{s} \in \mathcal{T}. \]

Entonces:

\[ I(\mathbf{t}') = I(g \cdot \mathbf{t}) = I(\mathbf{t}), \]

por lo que ningún invariante puede distinguir a \( \mathbf{t} \) de \( \mathbf{t}' \).

(Si) Supóngase ahora que \( \mathbf{t} \) y \( \mathbf{t}' \) no pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural. Entonces \( [\mathbf{t}] \neq [\mathbf{t}'] \) en el conjunto cociente \( \mathcal{T} / \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \). Considérese la aplicación canónica:

\[ \pi : \mathcal{T} \longrightarrow \mathcal{T} / \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}), \qquad \pi(\mathbf{s}) = [\mathbf{s}]. \]

La aplicación \( \pi \) es invariante bajo la acción del grupo y satisface:

\[ \pi(\mathbf{t}) \neq \pi(\mathbf{t}'). \]

Por tanto, existe un invariante que distingue a \( \mathbf{t} \) y \( \mathbf{t}' \).

Se concluye que \( \mathbf{t} \sim \mathbf{t}' \) si y solo si no existe ningún invariante estructural que los distinga. \(\square\)

Corolario 3.4.6: Indistinguibilidad estructural de estados equivalentes

Dos configuraciones de tensión \( \mathbf{t}, \mathbf{t}' \in \mathcal{T} \) que pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural no pueden distinguirse mediante ningún invariante definido exclusivamente en términos de la estructura combinatoria del dodecaedro rómbico.

Demostración.

El resultado se sigue directamente del Teorema 3.4.5.

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