Capítulo 3 — 3. Acción del grupo combinatorio asociado al dodecaedro rómbico

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Sección 3.3

Acción del grupo combinatorio asociado al dodecaedro rómbico

Sea \( \mathrm{RD} \) el dodecaedro rómbico considerado como un poliedro finito definido puramente por su estructura de incidencia entre vértices, aristas y caras. Denotamos por \( \mathcal{F} = \{ f_1, f_2, \dots, f_{12} \} \) el conjunto de sus doce caras rómbicas.


Definición 3.3.1: Grupo combinatorio del dodecaedro rómbico

Se define el grupo combinatorio del dodecaedro rómbico, denotado por \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \), como el conjunto de todas las biyecciones \( g : \mathrm{RD} \to \mathrm{RD} \) que preservan la estructura de incidencia del poliedro, es decir:

  • envían vértices en vértices,
  • envían aristas en aristas,
  • envían caras en caras,
  • preservan exactamente las relaciones de incidencia entre estos elementos.

La operación de grupo está dada por la composición de aplicaciones.

Veamos que en efecto que \(g \circ h \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD})\) es un grupo.


Lema 3.3.1: No vacuidad del grupo combinatorio.

El conjunto \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) no es vacío.

Demostración:

La aplicación identidad

\[ \mathrm{id}_{\mathrm{RD}} : \mathrm{RD} \to \mathrm{RD}, \qquad \mathrm{id}_{\mathrm{RD}}(x) = x \]

es una biyección que envía vértices en vértices, aristas en aristas y caras en caras, y preserva trivialmente todas las relaciones de incidencia. Por lo tanto,

\[\mathrm{id}_{\mathrm{RD}} \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}),\]

lo que prueba que el conjunto es no vacío.


Lema 3.3.2: Cerradura bajo composición

Sean \( g,h \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \). Entonces la composición \( g \circ h \) pertenece a \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \).

Demostración:

Dado que\( g \) y \( h \) son biyecciones que preservan vértices, aristas, caras y relaciones de incidencia, su composición es nuevamente una biyección con las mismas propiedades. Por consiguiente,

\[g \circ h \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}).\]


Lema 3.3.3: Existencia de automorfismos no triviales

Existen elementos de \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) distintos de la identidad.

Demostración:

El dodecaedro rómbico posee pares de caras opuestas con patrones de incidencia isomorfos. Sea \( f_i, f_j \in \mathcal{F} \) un par de caras opuestas. Existe una biyección del conjunto de caras que intercambia \( f_i \) y \( f_j \), intercambia simultáneamente sus caras opuestas respectivas, y actúa de manera compatible sobre las aristas y vértices incidentes, preservando todas las relaciones de incidencia.

Dicha biyección define una aplicación \( g : \mathrm{RD} \to \mathrm{RD} \) que no coincide con la identidad y satisface las condiciones de la Definición 3.3.1. Por tanto,

\[g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}),\qquad g \neq \mathrm{id}_{\mathrm{RD}}.\]


Proposición 3.3.4: Estructura de grupo

Con la operación de composición, el conjunto \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) es un grupo.

Demostración:

La no vacuidad está garantizada por el Lema 3.3.1. La cerradura bajo composición se sigue del Lema 3.3.2. La asociatividad es heredada de la composición de funciones. La identidad está dada por \( \mathrm{id}_{\mathrm{RD}} \). Finalmente, toda biyección que preserva incidencias es invertible, y su inversa preserva las mismas relaciones, por lo que pertenece nuevamente al conjunto.

Por consiguiente, \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) satisface todos los axiomas de grupo.


Definición 3.3.5: Grupo simétrico

Sea \( X \) un conjunto finito con \( |X| = n \). Se define el grupo simétrico sobre \( X \), denotado por \( \mathfrak{S}(X) \), como el conjunto de todas las biyecciones.

\[\sigma : X \to X,\]

con la operación de grupo dada por la composición de aplicaciones.

Cuando \( X = \{1,2,\dots,n\} \), se escribe \( \mathfrak{S}_n := \mathfrak{S}(\{1,2,\dots,n\}) \) y se denomina grupo simétrico de grado \( n \).

Ejemplo

En el caso \( n = 12 \), el grupo \( \mathfrak{S}_{12} \) es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto

\[\{1,2,\dots,12\},\]

es decir, de todas las biyecciones de este conjunto en sí mismo, con la operación de composición.

Observación:

Dado un conjunto de doce caras \( \mathcal{F} = \{ f_1, \dots, f_{12} \} \), toda biyección \( \sigma : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \) define, tras fijar un orden de indexación, un elemento de \( \mathfrak{S}_{12} \). Por esta razón, las acciones por permutación del conjunto de caras se representan de manera canónica como acciones en \( \mathfrak{S}_{12} \).


Definición 3.3.6: Acción inducida sobre el conjunto de caras

Todo elemento \( g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) induce una permutación del conjunto de caras \( \mathcal{F} \). Se define la acción inducida por

\[g \cdot f_i := g(f_i),\qquad f_i \in \mathcal{F}.\]

Esta acción determina un homomorfismo de grupos

\[\mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \longrightarrow \mathfrak{S}_{12},\]

donde \( \mathfrak{S}_{12} \) es el grupo simétrico sobre doce elementos, como veremos en la siguiente proposición:


Proposición 3.3.6: Homomorfismo inducido sobre el conjunto de caras

Sea \( \mathcal{F} = \{ f_1, \dots, f_{12} \} \) el conjunto de caras del dodecaedro rómbico. La aplicación

\[ \Phi : \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \longrightarrow \mathfrak{S}_{12}, \qquad \Phi(g)(i) := j \ \text{si y solo si} \ g(f_i) = f_j, \]

está bien definida y es un homomorfismo de grupos.

Demostración:

Primero probamos que la aplicación está bien definida. Sea \( g \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \). Por definición, \( g \) es una biyección que envía caras en caras. Por lo tanto, para cada \( f_i \in \mathcal{F} \), existe una única cara \( f_j \in \mathcal{F} \) tal que

\[ g(f_i) = f_j. \]

Esto define una aplicación \( \Phi(g) : \{1,\dots,12\} \to \{1,\dots,12\} \). Como \( g \) es biyectiva sobre las caras, \( \Phi(g) \) es también biyectiva. Luego,

\[ \Phi(g) \in \mathfrak{S}_{12}. \]

A continuación, probamos que \( \Phi \) preserva la operación de grupo. Sean \( g,h \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \). Para cada \( i \in \{1,\dots,12\} \), se tiene:

\[ \Phi(gh)(i) = k \ \Longleftrightarrow \ (gh)(f_i) = f_k. \]

Por definición de composición,

\[ (gh)(f_i) = g(h(f_i)). \]

Si \( h(f_i) = f_j \) y \( g(f_j) = f_k \), entonces

\[ \Phi(h)(i) = j, \qquad \Phi(g)(j) = k, \]

lo que implica

\[ \Phi(gh)(i) = (\Phi(g) \circ \Phi(h))(i). \]

Como esto vale para todo \( i \), concluimos que

\[ \Phi(gh) = \Phi(g) \circ \Phi(h). \]

Finalmente, la identidad \( \mathrm{id}_{\mathrm{RD}} \) actúa trivialmente sobre las caras, por lo que

\[ \Phi(\mathrm{id}_{\mathrm{RD}}) = \mathrm{id}_{\{1,\dots,12\}}. \]

Por consiguiente, \( \Phi \) es un homomorfismo de grupos desde \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) hacia \( \mathfrak{S}_{12} \).


Definición 3.3.7: Acción sobre el conjunto de configuraciones de tensión

Sea \[ \mathcal{V} = \{ v_1, v_2, \dots, v_{14} \} \] el conjunto de vértices del dodecaedro rómbico.

Sea \(\mathbf{t}(p) = (t_1(p), \dots, t_{14}(p)) \in \{0,1\}^{14}\) el vector de tensión asociado a un estado local \( p \), indexado por los vértices de \( \mathrm{RD} \).

Se define la acción de \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) sobre el conjunto \( \{0,1\}^{14} \) por:

\[ (g \cdot \mathbf{t}(p))_i := t_{g^{-1}(i)}(p), \qquad i = 1, \dots, 14. \]

Equivalentemente, si \( g \) induce la permutación \( \sigma_g \in \mathfrak{S}_{14} \) sobre el conjunto de vértices, entonces:

\[ g \cdot (t_1, \dots, t_{14}) = (t_{\sigma_g^{-1}(1)}, \dots, t_{\sigma_g^{-1}(14)}). \]

Lema 3.3.7: Bien definición de la acción del grupo combinatorio

Sea \( \mathcal{T} = \{0,1\}^{14} \) el conjunto de configuraciones de tensión indexado por el conjunto de vértices \( \mathcal{V} = \{v_1,\dots,v_{14}\} \) del dodecaedro rómbico.

La aplicación

\[ \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \times \mathcal{T} \longrightarrow \mathcal{T} \]

definida por

\[ (g \cdot \mathbf{t})_i := t_{g^{-1}(i)}, \qquad i = 1,\dots,14, \]

es una acción de grupo bien definida.

Demostración:

Verificamos las dos propiedades que definen una acción de grupo.

  • Identidad: Sea \( e \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) el elemento identidad. Entonces \( e^{-1} = e \) y, para todo \( \mathbf{t} \in \mathcal{T} \) y todo índice \( i \), se tiene: \[ (e \cdot \mathbf{t})_i = t_{e^{-1}(i)} = t_i. \] Por tanto, \( e \cdot \mathbf{t} = \mathbf{t} \).

  • Compatibilidad: Sean \( g,h \in \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \). Para todo \( \mathbf{t} \in \mathcal{T} \) y todo índice \( i \), se tiene: \[((gh) \cdot \mathbf{t})_i=t_{(gh)^{-1}(i)}=t_{h^{-1}(g^{-1}(i))}=(g \cdot (h \cdot \mathbf{t}))_i.\] Por lo tanto, \( (gh) \cdot \mathbf{t} = g \cdot (h \cdot \mathbf{t}) \).

Ambas propiedades quedan verificadas, luego la aplicación definida es una acción de grupo bien definida.

Observación 3.X.5

La acción de \( \mathrm{Aut}_{\mathrm{comb}}(\mathrm{RD}) \) preserva el número total de componentes activas del vector de tensión y únicamente puede modificar su distribución relativa entre las caras.

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