Capítulo 3 — 2. Vector de tensión

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Sección 3.2

Definición 3.2.1: Función de compatibilidad

Sea \( \mathcal{P} \) el conjunto de poliedros \( RD \) que teselan el espacio euclidiano, y sea \( p \in \mathcal{P} \) un poliedro fijo.

Recordemos que cada poliedro \( RD \) posee exactamente \(14\) vértices: \(8\) vértices cúbicos y \(6\) vértices axiales. La numeración intrínseca previamente definida asigna a estos vértices etiquetas canónicas \( v_1, \dots, v_{14} \).

A cada poliedro \( p \in \mathcal{P} \) se le asocia una configuración local \[ c_p : \{v_1,\dots,v_{14}\} \longrightarrow \{0,1\}, \] que asigna un estado discreto a cada vértice intrínseco. Sea \( \mathcal{C} \) el conjunto de todas las configuraciones locales posibles.

Se define la función de compatibilidad como la aplicación

\[ C : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{N}, \]

tal que, dados dos poliedros adyacentes \( p,q \in \mathcal{P} \), el valor \( C(c_p,c_q) \) es el número de vértices geométricos compartidos en los que las configuraciones inducidas por \( c_p \) y \( c_q \) no coinciden.

Se dice que dos configuraciones locales son compatibles si y solo si \[ C(c_p,c_q) = 0. \]


Definición 3.2.2: Vértice en tensión

Sea \( p \in \mathcal{P} \) un poliedro fijo y sea \( v_i \) uno de sus vértices intrínsecos.

Sea \( \mathcal{A}(v_i) \subset \mathcal{P} \) el conjunto de todos los poliedros de la teselación que comparten el vértice geométrico correspondiente a \( v_i \).

Se dice que el vértice \( v_i \) de \( p \) está en tensión si existe al menos un poliedro vecino \( q \in \mathcal{A}(v_i) \) tal que

\[ C(c_p,c_q) > 0, \]

es decir, si las configuraciones locales de \( p \) y \( q \) no son compatibles en el vértice geométrico compartido.

En este caso se define la componente correspondiente del vector de tensión como

\[ t_i(p) = 1. \]


Definición 3.2.3: Vértice relajado

Sea \( p \in \mathcal{P} \) un poliedro fijo y sea \( v_i \) uno de sus vértices intrínsecos.

Se dice que el vértice \( v_i \) de \( p \) está relajado si para todo poliedro \( q \in \mathcal{A}(v_i) \) se cumple

\[ C(c_p,c_q) = 0, \]

es decir, si la configuración local de \( p \) es compatible con la de todos los poliedros vecinos en ese vértice geométrico.

En este caso, la componente correspondiente del vector de tensión es

\[ t_i(p) = 0. \]


Definición 3.2.4: Vector de tensión

Sea \( \mathcal{P} \) el conjunto de poliedros \( RD \) que teselan el espacio, y sea \( p \in \mathcal{P} \) un poliedro fijo.

Recordemos que cada poliedro \( RD \) posee exactamente \(14\) vértices: \(8\) vértices cúbicos y \(6\) vértices axiales. La numeración intrínseca previamente definida asigna a estos vértices etiquetas canónicas

\[ v_1, v_2, \dots, v_{14}. \]

Definimos el vector de tensión asociado al poliedro \(p\) como la aplicación

\[ \mathbf{t}(p) : \{v_1,\dots,v_{14}\} \longrightarrow \{0,1\}, \]

que a cada vértice intrínseco \(v_i\) le asigna un valor binario:

  • \(\mathbf{t}_i(p) = 1\) indica que el vértice \(v_i\) se encuentra activado, ocupado o en estado de tensión.
  • \(\mathbf{t}_i(p) = 0\) indica que el vértice \(v_i\) se encuentra inactivo o en estado relajado.

De este modo, el estado local del poliedro \(p\) queda completamente descrito por un vector binario de longitud \(14\):

\[ \mathbf{t}(p) = \big( \mathbf{t}_1(p),\mathbf{t}_2(p),\dots,\mathbf{t}_{14}(p) \big) \;\in\; \{0,1\}^{14}. \]

Este vector constituye una descripción puramente estructural, independiente de cualquier orientación absoluta en el espacio y definida únicamente en términos de la combinatoria interna del dodecaedro rómbico.

Dos poliedros con el mismo vector de tensión pertenecen al mismo estado local, mientras que diferencias en \( \mathbf{t}(p) \) representan defectos, excitaciones o configuraciones distinguibles desde el punto de vista estructural.

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