Capítulo 3 — 1. Numeración intrínseca de vértices

LaTeX en HTML5

Sección 3.1

Sea \( RD \subset \mathbb{R}^3 \) un dodecaedro rómbico fijo y sea \( V(RD) \) su conjunto de vértices, con \( |V(RD)| = 14 \). Con esto tenemos la siguiente definición.


Definición 3.1.1: Numeración intrínseca de vértices

Una numeración intrínseca de vértices es una aplicación biyectiva

\[ \nu : V(RD) \longrightarrow \{1,2,\dots,14\} \]

tal que para todo automorfismo \( g \in \mathrm{Aut}(RD) \) existe una permutación \( \sigma_g \in S_{14} \) que satisface

\[ \nu(g\cdot v) = \sigma_g(\nu(v)) \quad \forall v \in V(RD). \]

Es decir, la numeración es compatible con la acción del grupo de simetrías del dodecaedro rómbico.


Interpretación estructural

La numeración intrínseca:

  • No depende de coordenadas absolutas.
  • No fija orientación global del espacio.
  • Depende únicamente de la estructura combinatoria del RD.

Dos numeraciones intrínsecas difieren únicamente por una permutación inducida por un automorfismo del dodecaedro.


Construcción canónica (sin geometría externa)

Numeración intrínseca de vértices

La numeración intrínseca de los vértices del dodecaedro rómbico consiste en asignar etiquetas a sus vértices sin utilizar coordenadas, ejes ni embebimiento previo en \(\mathbb{R}^3\). La construcción se basa únicamente en la estructura combinatoria del poliedro: adyacencia, simetrías y distancia en el grafo.

Paso 1 — Elección de un vértice base

Se elige arbitrariamente un vértice \(v_1\) del dodecaedro rómbico. Esta elección no introduce una ruptura de simetría, ya que el grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre el conjunto de vértices:

\[ \forall v,w \in V(RD),\; \exists g \in \mathrm{Aut}(RD) \text{ tal que } g(v)=w. \]

Por tanto, \(v_1\) funciona únicamente como un origen relacional.

Paso 2 — Estabilizador del vértice base

Se define el estabilizador de \(v_1\) como el subgrupo:

\[ \mathrm{Stab}(v_1) = \{ g \in \mathrm{Aut}(RD) \mid g(v_1)=v_1 \}. \]

Este grupo describe todas las simetrías del dodecaedro rómbico que fijan el vértice base y permutan el resto de la estructura.

Paso 3 — Clases de equivalencia en la vecindad inmediata

Sea

\[ N(v_1)=\{v \in V(RD)\mid v \sim v_1\} \]

el conjunto de vértices adyacentes a \(v_1\). Dos vértices \(u,w \in N(v_1)\) se consideran equivalentes si existe una simetría del estabilizador que los identifique:

\[ u \sim w \quad \Longleftrightarrow \quad \exists g \in \mathrm{Stab}(v_1) \text{ tal que } g(u)=w. \]

Estas clases de equivalencia permiten numerar los vértices adyacentes de forma intrínseca, sin introducir orientaciones externas.

Paso 4 — Numeración por capas combinatorias

Se define la distancia combinatoria entre vértices como la longitud mínima de un camino en el grafo del 1-esqueleto:

\[ d(u,v)=\min\{\text{número de aristas entre }u\text{ y }v\}. \]

Los vértices se agrupan en capas:

\[ L_k=\{v \in V(RD)\mid d(v_1,v)=k\}. \]

La numeración se realiza capa por capa, utilizando en cada una la información de adyacencia con capas anteriores y la acción residual del estabilizador.

Conclusión

La numeración obtenida es puramente combinatoria y depende únicamente de la estructura interna del dodecaedro rómbico. Cualquier otra numeración construida mediante este procedimiento difiere de la anterior solo por la acción de un automorfismo global del poliedro.

El resultado es único salvo la acción de \( \mathrm{Aut}(RD) \).


Proposición fundamental

Si \( \nu \) y \( \nu' \) son dos numeraciones intrínsecas, entonces existe un automorfismo \( g \in \mathrm{Aut}(RD) \) tal que

\[ \nu' = \nu \circ g. \]

Por tanto, ningún vértice posee identidad absoluta; solo existen roles estructurales.


Conclusión

La numeración intrínseca de vértices es el paso necesario para:

  • Definir estados locales \( \mathbf{t}(p) \in \{0,1\}^{14} \).
  • Formalizar la acción de \( \mathrm{Aut}(RD) \).
  • Eliminar cualquier referencia a un fondo geométrico absoluto.

Esto establece la base formal para una ontología espacial puramente estructural.

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Capítulo 2 — 1. Definición del conjunto de poliedros P\mathcal{P}

LaTeX en HTML5 Sección 2.1 2.1.1 Definición: Acción de un grupo sobre un conjunto. Sea \((G,*)\) un grupo con elemento neutro \(e\), y sea \(X\) un conjunto no vacío. Una acción de \(G\) sobre \(X\) es una aplicación \[\Phi : G \times X \longrightarrow X, \qquad (g,x)\longmapsto g\cdot x,\] tal que se satisfacen las siguientes propiedades fundamentales: (i) Compatibilidad con la operación del grupo. Para todos \(g,h\in G\) y todo \(x\in X\), \[\Phi(g*h,x) = \Phi(g,\Phi(h,x))\] (ii) Identidad. Para todo \(x\in X\), \[\Phi(e,x) = x\] Ejemplo: Acción del grupo de simetrías del cuadrado sobre sus vértices. Sea \(G = D_4\) el grupo diedral de orden \(8\), es decir, el grupo de todas las isometrías del plano que dejan invariante un cuadrado centrado en el origen. La operación en \(G\) es la composición de funciones. Consideremos el cuadrado centrado en el origen de \(\mathbb{R}^2\) cuyos vértices son \[\b...
Leer más

Capítulo 1 — 3. Grupo de simetrías Aut(RD)

LaTeX en HTML5 Sección 1.3: Simetría inherente Definición 1.3.1: Grupo de simetrías de RD Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1, \ |x| + |z| \le 1, \ |y| + |z| \le 1 \right\}. \] El grupo de simetrías \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) está formado por todas las transformaciones lineales \(T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) tales que: \[ T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}, \quad T \text{ es una isometría rígida (rotación o reflexión)}. \] Esta definición establece formalmente qué significa “simetría” en el contexto del dodecaedro rómbico: cualquier transformación que mueva puntos dentro de \(\mathbb{R}^3\) sin deformar el sólido ni alterar su forma (solo rotaciones o reflejos) y que deje al dodecaedro exactamente en su lugar, pertenece al grupo de simetrías. En otras palabras, \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) captura todas las maneras de “mover” el sólido sin que se note n...
Leer más

Capítulo 1 — 4. Teorema de teselación del espacio euclidiano

Imagen
LaTeX en HTML5 Sección 1.4 Definición 1.4.1: Traslación de un subconjunto del espacio euclidiano. Sea \(A\subset\mathbb{R}^n\) un subconjunto no vacío, y sea \(\lambda\in\mathbb{R}^n\). Se define el conjunto trasladado de \(A\) por el vector \(\lambda\) como \[ A+\lambda := \left\{ x\in\mathbb{R}^n \;\middle|\; \exists\,a\in A \text{ tal que } x=a+\lambda \right\}. \] Definición 1.4.2: Región o dominio de Voronoi. Sea \(\Lambda \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto discreto no vacío, provisto de la norma euclidiana \(\|\cdot\|\). Para un punto \(\lambda \in \Lambda\), se define la región o dominio de Voronoi asociada a \(\lambda\) como el conjunto \[ V(\lambda) := \left\{ x \in \mathbb{R}^n \;\middle|\; \|x-\lambda\| \le \|x-\mu\| \;\;\text{para todo }\mu \in \Lambda \right\}. \] Es decir, \(V(\lambda)\) está formado por todos los puntos del espacio que están al menos tan cerca de \(\lambda\) como de cualquier otr...
Leer más