Capítulo 2 — 4. Conectividad y homogeneidad

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Sección 2.4

Definición 2.4.1: Grafo conexo.

Sea \[ G = (V, E) \] un grafo.

Decimos que \(G\) es conexo si para cualesquiera dos vértices \(u, v \in V\) existe un camino \[ u = v_0, v_1, v_2, \dots, v_m = v \] tal que \[ (v_{i-1}, v_i) \in E \quad \text{para todo } i = 1, \dots, m. \]

En otras palabras, cada par de vértices está unido por una secuencia de aristas.

La relación de vecindad define un grafo infinito \[ G = (\mathcal{P}, \sim), \] donde cada vértice representa un poliedro \(RD\) y cada arista representa una cara compartida.


Definición 2.4.2: Grafo homogéneo bajo acción de un grupo.

Sea \[ G = (V, E) \] un grafo y sea \(H\) un grupo que actúa sobre el conjunto de vértices \(V\): \[ H \times V \to V, \quad (h, v) \mapsto h \cdot v. \]

Decimos que \(G\) es homogéneo bajo la acción de \(H\) si, para cualesquiera dos vértices \(u, v \in V\), existe un elemento \(h \in H\) tal que \[ h \cdot u = v. \]

Es decir, el grupo \(H\) puede “mover” cualquier vértice a cualquier otro, preservando la estructura del grafo.


Interpretación estructural.

La relación de vecindad define un grafo infinito \[ G = (\mathcal{P}, \sim), \] donde cada vértice representa un poliedro \(RD\) y cada arista representa una cara compartida.

Este grafo es:

  • Conexo
  • Homogéneo por traslaciones

1. Conectividad.

Sean \(P_\lambda\) y \(P_\mu\) dos vértices arbitrarios de \(G\). Entonces \[ \mu - \lambda \in \mathbb{Z}^3. \]

El grupo \(\mathbb{Z}^3\) es generado por un conjunto finito de vectores, y en particular por el conjunto \(\mathcal{N}\) de desplazamientos que corresponden a vecindades cara a cara. Esto implica que existe una sucesión finita \[ \nu_1, \nu_2, \dots, \nu_k \in \mathcal{N} \] tal que \[ \mu - \lambda = \nu_1 + \nu_2 + \cdots + \nu_k. \]

Definiendo la sucesión de poliedros \[ P_{\lambda},\; P_{\lambda+\nu_1},\; P_{\lambda+\nu_1+\nu_2},\; \dots,\; P_{\mu}, \] cada par consecutivo comparte una cara. Esto define un camino en el grafo \(G\) que conecta \(P_\lambda\) con \(P_\mu\).

Por consiguiente, el grafo \(G\) es conexo.


2. Homogeneidad bajo traslaciones.

El grupo de traslaciones \(\mathbb{Z}^3\) actúa sobre \(\mathcal{P}\) mediante \[ \tau_\kappa(P_\lambda) = P_{\lambda+\kappa}, \qquad \kappa \in \mathbb{Z}^3. \]

Esta acción es:

– transitiva sobre los vértices del grafo,
– libre,
– y preserva la relación de vecindad, ya que \[ P_\lambda \sim P_\mu \;\Longleftrightarrow\; P_{\lambda+\kappa} \sim P_{\mu+\kappa}. \]

Por lo tanto, el grafo \(G\) es homogéneo: todos sus vértices son indistinguibles desde el punto de vista estructural.

Conclusión.

La relación de vecindad induce un grafo infinito regular de grado \(12\), conexo y homogéneo bajo la acción del grupo de traslaciones \(\mathbb{Z}^3\). Este grafo constituye la estructura combinatoria fundamental del espacio teselado por el dodecaedro rómbico.

Por tanto, la estructura espacial resultante no privilegia ningún punto, dirección ni orientación absoluta.

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