Capítulo 2 — 3. Grafo regular infinito de grado 12

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Sección 2.3

Definición 2.3.1: Grafo.

Un grafo es un par ordenado \[ G = (V,E), \] donde:

– \(V\) es un conjunto no vacío cuyos elementos se llaman vértices,
– \(E \subseteq \{\{u,v\} \mid u,v \in V,\; u \neq v\}\) es un conjunto de pares no ordenados de vértices, cuyos elementos se llaman aristas.

Si \(\{u,v\} \in E\), se dice que los vértices \(u\) y \(v\) son adyacentes.


Definición 2.3.2: Grafo regular.

Sea \[ G = (V,E) \] un grafo.

Decimos que \(G\) es un grafo regular de grado \(k\) si existe un entero \[ k \in \mathbb{N} \] tal que todo vértice \(v \in V\) satisface:

\[ \deg(v) = k, \]

donde \(\deg(v)\) denota el número de aristas incidentes en \(v\).

Equivalentemente, \(G\) es regular si todos sus vértices tienen el mismo número de vecinos.

Este grafo es regular de grado \(12\)

En efecto:

Por resultados geométricos previos, el dodecaedro rómbico \(RD\) tiene exactamente \(12\) caras, todas congruentes. Cada cara está contenida en un plano de la forma \[ \pm x \pm y = 1,\quad \pm x \pm z = 1,\quad \pm y \pm z = 1. \]

En la teselación por traslaciones, cada cara de \(RD\) es compartida con exactamente una copia adyacente \(RD + \nu\), donde \[ \nu \in \mathcal{N} \subset \mathbb{Z}^3, \] y \(\mathcal{N}\) es el conjunto finito de vectores que corresponden a adyacencias cara a cara.

Por lo tanto, el poliedro \(P_0 = RD\) tiene exactamente \(12\) vecinos distintos en el grafo \(G\). Como la relación de vecindad es invariante por traslaciones, todo \(P_\lambda\) tiene el mismo número de vecinos.

Luego, el grafo \(G\) es regular de grado \(12\).

Por tanto, la estructura espacial resultante no privilegia ningún punto, dirección ni orientación absoluta.

Este grafo es:

– regular de grado \(12\),
– conexo,
– homogéneo bajo la acción del grupo de traslaciones \(\mathbb{Z}^3\).

En efecto:

1. Regularidad y grado.

Por resultados geométricos previos, el dodecaedro rómbico \(RD\) tiene exactamente \(12\) caras, todas congruentes. Cada cara está contenida en un plano de la forma \[ \pm x \pm y = 1,\quad \pm x \pm z = 1,\quad \pm y \pm z = 1. \]

En la teselación por traslaciones, cada cara de \(RD\) es compartida con exactamente una copia adyacente \(RD + \nu\), donde \[ \nu \in \mathcal{N} \subset \mathbb{Z}^3, \] y \(\mathcal{N}\) es el conjunto finito de vectores que corresponden a adyacencias cara a cara.

Por lo tanto, el poliedro \(P_0 = RD\) tiene exactamente \(12\) vecinos distintos en el grafo \(G\). Como la relación de vecindad es invariante por traslaciones, todo \(P_\lambda\) tiene el mismo número de vecinos.

Luego, el grafo \(G\) es regular de grado \(12\).

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