Capítulo 2 — 3. Grafo regular infinito de grado 12

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Sección 2.3

Definición 2.3.1: Grafo.

Un grafo es un par ordenado \[ G = (V,E), \] donde:

– \(V\) es un conjunto no vacío cuyos elementos se llaman vértices,
– \(E \subseteq \{\{u,v\} \mid u,v \in V,\; u \neq v\}\) es un conjunto de pares no ordenados de vértices, cuyos elementos se llaman aristas.

Si \(\{u,v\} \in E\), se dice que los vértices \(u\) y \(v\) son adyacentes.


Definición 2.3.2: Grafo regular.

Sea \[ G = (V,E) \] un grafo.

Decimos que \(G\) es un grafo regular de grado \(k\) si existe un entero \[ k \in \mathbb{N} \] tal que todo vértice \(v \in V\) satisface:

\[ \deg(v) = k, \]

donde \(\deg(v)\) denota el número de aristas incidentes en \(v\).

Equivalentemente, \(G\) es regular si todos sus vértices tienen el mismo número de vecinos.

Definición 2.1.3: Grafo de adyacencia de la teselación

Sea la teselación de \(\mathbb{R}^3\) por dodecaedros rómbicos \[ \{ P_\lambda = RD + \lambda \mid \lambda \in \mathbb{Z}^3 \}. \] Definimos el grafo \[ G = (V,E) \] de la siguiente manera:

  • Los vértices de \(G\) son los dodecaedros: \[ V = \{ P_\lambda \mid \lambda \in \mathbb{Z}^3 \}. \]
  • Dos vértices \(P_\lambda, P_\mu \in V\) están conectados por una arista si y solo si los dodecaedros correspondientes son adyacentes por cara: \[ \{P_\lambda,P_\mu\} \in E \quad \iff \quad P_\lambda \text{ y } P_\mu \text{ comparten una cara.} \]

Con esta definición, el grafo \(G\) representa la estructura de vecinos de la teselación.

Este grafo es regular de grado \(12\)

En efecto:

Por resultados geométricos previos, el dodecaedro rómbico \(RD\) tiene exactamente \(12\) caras, todas congruentes. Cada cara está contenida en un plano de la forma \[ \pm x \pm y = 1,\quad \pm x \pm z = 1,\quad \pm y \pm z = 1. \]

En la teselación por traslaciones, cada cara de \(RD\) es compartida con exactamente una copia adyacente \(RD + \nu\), donde \[ \nu \in \mathcal{N} \subset \mathbb{Z}^3, \] y \(\mathcal{N}\) es el conjunto finito de vectores que corresponden a adyacencias cara a cara.

Por lo tanto, el poliedro \(P_0 = RD\) tiene exactamente \(12\) vecinos distintos en el grafo \(G\). Como la relación de vecindad es invariante por traslaciones, todo \(P_\lambda\) tiene el mismo número de vecinos.

Luego, el grafo \(G\) es regular de grado \(12\).

Por tanto, la estructura espacial resultante no privilegia ningún punto, dirección ni orientación absoluta.

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