Capítulo 2 — 2. Relación de vecindad (compartir cara)

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Sección 2.2

Definición (Relación de vecindad por compartir cara).

Sea \(\mathcal{P}\) el conjunto de todas las copias trasladadas del dodecaedro rómbico \[ RD + \lambda \subset \mathbb{R}^3, \qquad \lambda \in \Lambda = \mathbb{Z}^3. \]

Definimos una relación binaria \[ \sim \;\subset\; \mathcal{P} \times \mathcal{P} \] llamada relación de vecindad, de la siguiente manera:

Para \(P_1, P_2 \in \mathcal{P}\), \[ P_1 \sim P_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \dim\!\bigl(P_1 \cap P_2\bigr) = 2. \]

Es decir, dos poliedros son vecinos si y solo si comparten una cara completa (de dimensión dos).

Caracterización explícita.

Dado que cada elemento de \(\mathcal{P}\) es de la forma \[ P_\lambda = RD + \lambda, \] dos poliedros \(P_\lambda\) y \(P_\mu\) son vecinos si y solo si existe una cara \(F \subset \partial RD\) tal que \[ F + \lambda = F' + \mu \] para alguna cara \(F' \subset \partial RD\).

Equivalentemente, \[ P_\lambda \sim P_\mu \quad \Longleftrightarrow \quad \mu - \lambda \in \mathcal{N}, \] donde \(\mathcal{N} \subset \mathbb{Z}^3\) es el conjunto finito de vectores de traslación que corresponden a poliedros que comparten exactamente una cara con \(RD\).

En efecto:

(\(\Rightarrow\))

Supongamos que \(P_\lambda \sim P_\mu\). Por definición, \[ P_\lambda = RD + \lambda, \qquad P_\mu = RD + \mu, \] y ambos poliedros comparten exactamente una cara bidimensional.

Aplicamos la traslación por el vector \(-\lambda\), que preserva incidencias y dimensiones. Entonces se obtiene: \[ (RD + \lambda) - \lambda \sim (RD + \mu) - \lambda, \] es decir, \[ RD \sim RD + (\mu - \lambda). \]

Por definición del conjunto \[ \mathcal{N} = \left\{ \nu \in \mathbb{Z}^3 \;\middle|\; RD \cap (RD + \nu) \text{ es exactamente una cara} \right\}, \] se concluye que \[ \mu - \lambda \in \mathcal{N}. \]

(\(\Leftarrow\))

Supongamos ahora que \[ \mu - \lambda \in \mathcal{N}. \] Entonces, por definición de \(\mathcal{N}\), \[ RD \cap (RD + (\mu - \lambda)) \] es una cara bidimensional.

Trasladando nuevamente por \(\lambda\), se obtiene: \[ (RD + \lambda) \cap (RD + \mu) = P_\lambda \cap P_\mu, \] y esta intersección es exactamente una cara.

Por lo tanto, \[ P_\lambda \sim P_\mu. \]

Hemos demostrado ambas implicaciones, y en consecuencia la equivalencia: \[ P_\lambda \sim P_\mu \quad \Longleftrightarrow \quad \mu - \lambda \in \mathcal{N}. \]

Descripción del conjunto de vecinos.

Las caras de \(RD\) están dadas por ecuaciones del tipo \[ \pm x \pm y = 1, \qquad \pm x \pm z = 1, \qquad \pm y \pm z = 1. \]

Cada una de estas caras es compartida con exactamente una copia trasladada de \(RD\), obtenida por una traslación entera que cruza dicha cara.

En consecuencia, cada poliedro \(P_\lambda\) tiene exactamente \[ 12 \] vecinos, uno por cada cara.


Propiedades de la relación de vecindad.

La relación \(\sim\) satisface:

1. Simetría: \[ P_1 \sim P_2 \;\Rightarrow\; P_2 \sim P_1. \]

2. Irreflexividad: \[ P \not\sim P \quad \text{para todo } P \in \mathcal{P}. \]

3. Invarianza por traslación: \[ P_\lambda \sim P_\mu \;\Longleftrightarrow\; P_{\lambda+\nu} \sim P_{\mu+\nu} \quad \forall \nu \in \mathbb{Z}^3. \]

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