Capítulo 13: 4. Fotones como modos sin masa

Sección 13.4: Fotones como modos sin masa

Sección 13.4: Fotones como modos sin masa.

Definición 13.4.1: Modo sin masa.

Un modo sin masa es un estado excitado \(|\phi_k\rangle\) en un espacio de Hilbert \(\mathcal{H}\) cuya relación de dispersión es lineal:

\[ \omega_k = c \| \mathbf{k} \|, \]

donde \(\mathbf{k}\) es el vector de onda y \(c\) es la velocidad característica del modo.

Definición 13.4.2: Fotón como modo cuántico.

Se identifica al fotón con un modo sin masa en el espacio de modos electromagnéticos, tal que:

\[ |\gamma_{\mathbf{k},\lambda}\rangle \in \mathcal{H}_\text{EM}, \quad H |\gamma_{\mathbf{k},\lambda}\rangle = \hbar \omega_k |\gamma_{\mathbf{k},\lambda}\rangle, \]

donde \(\lambda\) indica la polarización del fotón y \(H\) es el Hamiltoniano del campo electromagnético.

Proposición 13.4.1: Propiedades de modos sin masa.

Los modos sin masa cumplen las siguientes condiciones:

  1. Relación de dispersión lineal \(\omega_k = c \| \mathbf{k} \|\).
  2. El número de excitaciones \(n_k\) es un número entero \(\ge 0\), con operador de número \(N_k = a_k^\dagger a_k\).
  3. Los operadores de creación y aniquilación cumplen las relaciones canónicas bosónicas: \[ [a_k, a_{k'}^\dagger] = \delta_{k,k'}, \quad [a_k, a_{k'}] = [a_k^\dagger, a_{k'}^\dagger] = 0. \]

Teorema 13.4.2: Energía y momento de un fotón.

Sea \(|\gamma_{\mathbf{k},\lambda}\rangle\) un estado de fotón. Entonces su energía y momento cumplen:

\[ E = \hbar \omega_k = \hbar c \|\mathbf{k}\|, \quad \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}. \]

Esto muestra que los fotones se comportan como partículas sin masa con momento lineal proporcional a su vector de onda.

Proposición 13.4.3: Conmutación de modos independientes.

Para dos modos distintos \((\mathbf{k},\lambda)\) y \((\mathbf{k}',\lambda')\) se cumple:

\[ [a_{\mathbf{k},\lambda}, a_{\mathbf{k}',\lambda'}^\dagger] = \delta_{\mathbf{k},\mathbf{k}'} \delta_{\lambda,\lambda'}, \quad [a_{\mathbf{k},\lambda}, a_{\mathbf{k}',\lambda'}] = [a_{\mathbf{k},\lambda}^\dagger, a_{\mathbf{k}',\lambda'}^\dagger] = 0. \]

Conclusión:

Formalmente, los fotones se definen como modos sin masa en el espacio de Hilbert del campo electromagnético, cumpliendo relaciones lineales de dispersión y conmutación bosónica, estableciendo una base matemática clara para la descripción cuántica del campo electromagnético.

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