Capítulo 13: 3. No-localidad sin violación causal

Sección 13.3: No-localidad sin violación causal

Sección 13.3: No-localidad sin violación causal.

Definición 13.3.1: Sistema multipartito cuántico.

Sea \(\mathcal{H} = \bigotimes_{i=1}^N \mathcal{H}_i\) un espacio de Hilbert compuesto por \(N\) subsistemas, donde cada \(\mathcal{H}_i\) representa el estado de un subsistema \(i\).

Definición 13.3.2: Operador de observables locales.

Sea \(A_i\) un operador hermítico actuando únicamente sobre \(\mathcal{H}_i\). Denotamos el conjunto de observables locales como \(\{A_i\}_{i=1}^N\).

Proposición 13.3.1: Correlaciones no-locales.

Para un estado \(|\psi\rangle \in \mathcal{H}\), las correlaciones entre mediciones de observables locales \(\{A_i\}\) pueden exceder las restricciones de desigualdades de tipo Bell:

\[ \langle \psi | A_1 \otimes \dots \otimes A_N | \psi \rangle \neq \prod_{i=1}^N \langle \psi | A_i | \psi \rangle \]

Definición 13.3.3: Violación causal.

Se dice que un procedimiento viola la causalidad si la probabilidad de un evento en un subespacio \(\mathcal{H}_i\) depende de mediciones realizadas en \(\mathcal{H}_j\) de manera tal que la señalización más rápida que la luz sería posible.

Teorema 13.3.2: No-localidad sin violación causal.

Sea \(|\psi\rangle\) un estado multipartito y \(\{A_i\}\) observables locales. Si las correlaciones cumplen las siguientes condiciones:

  1. Para cada \(i\), el valor esperado \(\langle A_i \rangle\) es independiente de las elecciones de medición en \(\mathcal{H}_j\), \(j \neq i\).
  2. Se cumplen desigualdades de no-signaling: \[ \sum_{a_i} P(a_1,\dots,a_N) = P(a_1,\dots,\hat{a}_i,\dots,a_N) \quad \forall i \] donde \(\hat{a}_i\) indica que la suma se realiza sobre todas las posibles salidas de \(A_i\).

Entonces, las correlaciones no-locales existen sin violar la causalidad.

Demostración:

1. Independencia de valores esperados locales.

Por hipótesis, para cada subespacio \(\mathcal{H}_i\) y observable \(A_i\):

\[ \langle A_i \rangle = \sum_{a_i} a_i P(a_i | \{A_j\}_{j \neq i}) = \sum_{a_i} a_i P(a_i), \]

lo que implica que ninguna elección de medición en otros subsistemas puede alterar \(\langle A_i \rangle\), cumpliendo no-signaling.

2. Existencia de correlaciones no-factorizables.

Consideremos un estado entangled \(|\psi\rangle\) tal que:

\[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle^{\otimes N} + |1\rangle^{\otimes N}) \]

Se tiene:

\[ \langle \psi | \sigma_z^{(1)} \otimes \dots \otimes \sigma_z^{(N)} | \psi \rangle = 1 \neq \prod_{i=1}^N \langle \psi | \sigma_z^{(i)} | \psi \rangle = 0 \]

Esta desigualdad muestra que existen correlaciones no-locales, mientras que los valores esperados locales permanecen independientes.

Conclusión:

Se demuestra formalmente que la no-localidad cuántica puede manifestarse sin permitir señalización superlumínica, respetando la causalidad física.

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