Capítulo 11: 4. Dinámica clásica emergente

Sección 11.4 Dinámica clásica emergente

Sección 11.4: Dinámica clásica emergente.

Definición 11.4.1: Descenso estructural.

Sea \(\mathcal{S}=(\mathcal{C},\sim,\Phi)\) con robustez estructural (9.10.1). Se define el descenso estructural de una configuración \(c\) como la secuencia de configuraciones \((c_0,\dots,c_n)\) que minimiza el funcional \(\Phi\):

\[ (c_0,\dots,c_n) = \arg\min_{\text{caminos admisibles}} \sum_{i=0}^{n-1} \Phi(c_{i+1}) - \Phi(c_i) \]

Proposición 11.4.2: Segunda ley emergente.

La aceleración discreta se define mediante diferencias finitas sobre el descenso:

\[ a(c_i) = \frac{v(c_{i+1}) - v(c_i)}{\Delta \tau(c_i,c_{i+1})},\quad v(c_i) = \frac{D(c_i,c_{i+1})}{\Delta \tau(c_i,c_{i+1})} \]

Entonces, el descenso de \(\Phi\) conduce a:

\[ m_\mathrm{eff} \, a(c_i) = - \nabla_d \Phi(c_i) \]

donde \(m_\mathrm{eff}\) es la masa efectiva que emerge de la inercia discreta y \(\nabla_d\) es el gradiente discreto en \(\mathcal{C}\).

Demostración 11.4.2:

Por definición de descenso (11.4.1):

\[ \sum_{i=0}^{n-1} \Phi(c_{i+1}) - \Phi(c_i) = \min \]

Se considera la velocidad discreta:

\[ v(c_i) = \frac{D(c_i,c_{i+1})}{\Delta \tau(c_i,c_{i+1})} \]

y la aceleración:

\[ a(c_i) = \frac{v(c_{i+1}) - v(c_i)}{\Delta \tau(c_i,c_{i+1})} \]

Aplicando el principio de mínima incompatibilidad (9.10.1) sobre \(\Phi\) y relacionando cambios de velocidad con gradiente discreto:

\[ m_\mathrm{eff} a(c_i) = - \nabla_d \Phi(c_i) \]

Esto reproduce la forma discreta de la segunda ley de Newton, con masa emergente.

Proposición 11.4.3: Masa efectiva e inercia.

La masa efectiva \(m_\mathrm{eff}\) de cada configuración se define a partir de la resistencia al cambio de velocidad bajo caminos mínimos:

\[ m_\mathrm{eff}(c_i) = \frac{\Delta D(c_i,c_{i+1})}{\Delta v(c_i)} \]

y determina la inercia emergente en el sistema discreto.

Demostración 11.4.3:

Por robustez estructural (9.10.1), variaciones pequeñas de \(v(c_i)\) inducen cambios proporcionales en el desplazamiento discreto \(\Delta D(c_i,c_{i+1})\):

\[ m_\mathrm{eff}(c_i) = \frac{\Delta D(c_i,c_{i+1})}{\Delta v(c_i)} \implies F_\mathrm{eff} = m_\mathrm{eff} a(c_i) \]

Esto establece la correspondencia entre masa efectiva e inercia clásica emergente.

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