Capítulo 11: 3. Leyes de atracción tipo inverso del cuadrado

Sección 11.3 Leyes de atracción tipo inverso del cuadrado

Sección 11.3: Leyes de atracción tipo inverso del cuadrado.

Definición 11.3.1: Interacción estructural entre configuraciones.

Sea \(\mathcal{S}=(\mathcal{C},\sim,\Phi)\) una estructura discreta con robustez estructural (9.10.1) y \(\Psi : \mathcal{C} \to \mathcal{M} \subset \mathbb{R}^n\) la aproximación continua efectiva (10.2.3). Se define la fuerza estructural efectiva como:

\[ F_\mathrm{eff}(\Psi(c),\Psi(d)) = - \nabla V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) = - \nabla \sum_{c'\in \mathcal{C}} G(\Psi(c),\Psi(c'))\, \rho(c'), \quad c,d \in \mathcal{C} \]

Proposición 11.3.2: Decaimiento geométrico.

En el régimen de coarse-graining fino y isotropía efectiva (10.2.1), el núcleo discreto \(G(x,y)\) converge a:

\[ G(x,y) \approx \frac{\kappa}{\|x-y\|^{n-2}}, \quad n>2 \] \end{div> y la fuerza emergente satisface:
\[ F_\mathrm{eff}(x,y) \approx \kappa \frac{x-y}{\|x-y\|^n} \]

Demostración 11.3.2:

Partimos de la ecuación de Poisson emergente (11.2.4):

\[ \Delta_\mathrm{eff} V_\mathrm{eff}(x) = - \rho_\mathrm{eff}(x) \]

Con isotropía efectiva (10.2.1) y homogeneidad estadística (10.2.2), el operador laplaciano discreto \(\Delta_d\) converge a \(\Delta_\mathrm{eff}\):

\[ \lim_{\ell\to\infty} \Delta_d V_d = \Delta_\mathrm{eff} V_\mathrm{eff} \]

La solución fundamental de la ecuación de Poisson en \(n\) dimensiones es:

\[ V_\mathrm{eff}(x) = \int_{\mathcal{M}} \frac{\rho_\mathrm{eff}(y)}{\|x-y\|^{n-2}} \, dy, \quad n>2 \]

Aplicando el gradiente obtenemos la fuerza estructural:

\[ F_\mathrm{eff}(x) = - \nabla V_\mathrm{eff}(x) = \int_{\mathcal{M}} \frac{x-y}{\|x-y\|^n} \rho_\mathrm{eff}(y) \, dy \]

Esto demuestra el decaimiento tipo inverso del cuadrado (\(n=3\)) como límite del sistema discreto, sin postulado ad hoc.

Teorema 11.3.3: Independencia de detalles microscópicos.

Sea \(\mathcal{S}_1 \approx \mathcal{S}_2\) dentro de la misma clase de universalidad (9.10.2). Entonces:

\[ \lim_{\ell\to\infty} F_\mathrm{eff}^{(1)}(x) = \lim_{\ell\to\infty} F_\mathrm{eff}^{(2)}(x) \sim \frac{x-y}{\|x-y\|^n} \]

La fuerza emergente es idéntica, independientemente de las configuraciones discretas subyacentes.

Demostración 11.3.3:

Por robustez estructural (9.10.1), cualquier subestructura discreta mínima satisface el mismo límite efectivo bajo coarse-graining. Aplicando Proposición 11.3.2 a cualquier \(\mathcal{S}_i\) de la clase, obtenemos el mismo \(V_\mathrm{eff}\) y por tanto el mismo \(F_\mathrm{eff}\). Esto confirma que la ley inverso del cuadrado es independiente de detalles microscópicos.

Corolario 11.3.4: Leyes de atracción emergentes.

En \(n=3\):

\[ F_\mathrm{eff}(x,y) \sim \frac{x-y}{\|x-y\|^3} \]

Surge necesariamente de robustez estructural (9.10.1), coarse-graining (10.1.2), y homogeneidad estadística (10.2.2).

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