Capítulo 11: 2. Ecuación de Poisson emergente

Sección 11.2 Ecuación de Poisson emergente

Sección 11.2: Ecuación de Poisson emergente.

Definición 11.2.1: Carga estructural.

Sea \(\mathcal{S}=(\mathcal{C},\sim,\Phi)\) con robustez estructural (9.10.1). La carga estructural \(\rho(c)\) se define como la contribución discreta de cada configuración al potencial emergente:

\[ \rho(c) \in \mathbb{R}, \quad c \in \mathcal{C} \]

Proposición 11.2.2: Formulación discreta de Poisson.

En el régimen discreto, el potencial \(V_d(c)\) y la carga estructural \(\rho(c)\) satisfacen:

\[ \Delta_d V_d(c) = - \kappa \rho(c), \quad c \in \mathcal{C} \]

donde \(\Delta_d\) es el Laplaciano discreto definido sobre \(\mathcal{C}\) (10.3.1) y \(\kappa > 0\) es constante de acoplamiento.

Demostración 11.2.2:

Sea \(c \in \mathcal{C}\) y sus vecinos \(c' \sim c\). Por robustez estructural (9.10.1):

\[ \Delta_d V_d(c) = \sum_{c' \sim c} (V_d(c') - V_d(c)) \]

El principio de mínima incompatibilidad (9.10.1) impone que la suma de diferencias ponderadas corresponde a la carga estructural:

\[ \sum_{c' \sim c} (V_d(c') - V_d(c)) = - \kappa \rho(c) \]

Esto establece la ecuación discreta de Poisson para cada configuración.

Proposición 11.2.3: Límite continuo de Poisson.

En el régimen de coarse-graining (10.1.2) y aproximación continua efectiva (10.2.3):

\[ \lim_{\ell \to \infty} \Delta_d V_d(c) = \Delta_\mathrm{eff} V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) = - \kappa \rho_\mathrm{eff}(\Psi(c)) \]

donde \(\Delta_\mathrm{eff}\) es el Laplaciano continuo emergente y \(\Psi: \mathcal{C} \to \mathcal{M}\subset \mathbb{R}^n\).

Demostración 11.2.3:

Aplicando coarse-graining a bloques \(B_j\) y promedios \(\bar{V}_j, \bar{\rho}_j\):

\[ \bar{\Delta}_d \bar{V}_j = \frac{1}{|B_j|} \sum_{c \in B_j} \sum_{c' \sim c} (V_d(c') - V_d(c)) = - \kappa \bar{\rho}_j \]

En el límite \(\ell \to \infty\), \(\bar{V}_j \to V_\mathrm{eff}(\Psi(c))\) y \(\bar{\rho}_j \to \rho_\mathrm{eff}(\Psi(c))\), obteniendo:

\[ \Delta_\mathrm{eff} V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) = - \kappa \rho_\mathrm{eff}(\Psi(c)) \]

Se demuestra que la ecuación de Poisson emerge naturalmente desde la estructura discreta bajo coarse-graining.

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