Capítulo 11: 1. Potencial continuo emergente

Sección 11.1 Potencial continuo emergente

Sección 11.1: Potencial continuo emergente.

Definición 11.1.1: Potencial discreto.

Sea \(\mathcal{S}=(\mathcal{C},\sim,\Phi)\) una estructura discreta de configuraciones con robustez estructural (9.10.1). Se define el potencial discreto como:

\[ V_d(c) = \sum_{c' \in \mathcal{C}} G_d(c,c')\, \rho(c'), \quad c \in \mathcal{C} \]
donde \(G_d\) es el kernel discreto de interacción y \(\rho(c')\) es la carga estructural (11.2.1).

Proposición 11.1.2: Límite continuo del potencial.

En el régimen de coarse-graining (10.1.2) y aproximación continua efectiva (10.2.3), el potencial discreto converge a un potencial continuo:

\[ \lim_{\ell \to \infty} V_d(c) = V_\mathrm{eff}(\Psi(c)), \quad \Psi:\mathcal{C}\to \mathcal{M}\subset \mathbb{R}^n \]

Demostración 11.1.2:

Sea \(B_j\) un bloque de coarse-graining de tamaño \(\ell\) y \(\bar{x}_j = \frac{1}{|B_j|}\sum_{i\in B_j} x_i\) el promedio estructural (10.1.4). Entonces:

\[ \bar{V}_j = \frac{1}{|B_j|} \sum_{c \in B_j} V_d(c) = \frac{1}{|B_j|} \sum_{c\in B_j} \sum_{c' \in \mathcal{C}} G_d(c,c') \rho(c') \]

Reescribiendo la doble suma en términos de bloques macroscópicos y usando homogeneidad estadística (10.2.2):

\[ \bar{V}_j \approx \sum_{k} G_\mathrm{eff}(\bar{x}_j, \bar{x}_k) \, \bar{\rho}_k \]

En el límite \(\ell \to \infty\), \(\bar{x}_j \to \Psi(c)\) y \(\bar{\rho}_k \to \rho_\mathrm{eff}(\Psi(c'))\), obteniendo el potencial continuo:

\[ V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) = \sum_{c' \in \mathcal{C}} G_\mathrm{eff}(\Psi(c),\Psi(c')) \, \rho_\mathrm{eff}(\Psi(c')) \]

Proposición 11.1.3: Campo efectivo.

El campo efectivo se define como:

\[ \mathbf{E}_\mathrm{eff}(\Psi(c)) = - \nabla V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) \]

Este campo describe la dirección de máxima reconfiguración estructural inducida por las cargas estructurales.

Demostración 11.1.3:

Aplicando el límite de coarse-graining a la diferencia discreta:

\[ \Delta_d V_d(c) = \sum_{c' \sim c} \big( V_d(c') - V_d(c) \big) \]

y usando aproximación continua efectiva (10.2.3) y límite del laplaciano discreto (10.3.1):

\[ \lim_{\ell \to \infty} \Delta_d V_d(c) = \Delta_\mathrm{eff} V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) \]

Por definición de gradiente:

\[ \mathbf{E}_\mathrm{eff}(\Psi(c)) = - \nabla V_\mathrm{eff}(\Psi(c)) \]

Se demuestra que el campo efectivo emerge como derivada continua del potencial discreto.

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