Capítulo 10: 1. Escalamiento y coarse-graining

10.1 Escalamiento y coarse-graining

10.1.1 Definición — Escalamiento.

El escalamiento es un proceso mediante el cual se relacionan propiedades de un sistema \(S\) a distintas escalas \(\ell\), definiendo funciones de transformación \(f_\ell: \mathcal{C}_\ell \to \mathcal{C}_{\ell'}\) que preservan las relaciones estructurales relevantes. Formalmente, si \(X_\ell \in \mathcal{C}_\ell\) es una propiedad a escala \(\ell\), entonces \(X_{\ell'} = f_\ell(X_\ell)\).

10.1.2 Definición — Coarse-graining.

El coarse-graining es un procedimiento de agrupamiento de variables locales \(\{x_i\}\) en bloques \(B_j\) de tamaño característico \(\ell\), definiendo promedios estructurales \(\bar{x}_j = \frac{1}{|B_j|} \sum_{i \in B_j} x_i\), que permiten describir el comportamiento del sistema a escalas mayores.

10.1.3 Definición — Regímenes macroscópicos.

Un régimen macroscópico corresponde a la descripción de \(S\) a escalas \(\ell \gg \ell_0\), donde \(\ell_0\) es la escala característica microscópica. En este régimen, las propiedades emergentes \(\bar{X}\) derivadas de coarse-graining capturan la dinámica global del sistema.

10.1.4 Definición — Promedios estructurales.

Se define un promedio estructural \(\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i\) sobre un conjunto de variables \(\{X_i\}\) a escala \(\ell\), donde \(N\) es el número de unidades incluidas. Estos promedios permiten identificar propiedades invariantes y relevantes a escalas mayores.

10.1.5 Lema — Coarse-graining preserva invariancias estructurales.

Sea \(\{X_i\}\) un conjunto de variables locales que satisface relaciones estructurales \(R(\{X_i\})\). Entonces, los promedios \(\bar{X}_j\) definidos por la Definición 10.1.2 — Coarse-graining cumplen las mismas relaciones \(R(\{\bar{X}_j\})\). Demostración: Por linealidad de promedios y consistencia de la función \(f_\ell\) de la Definición 10.1.1 — Escalamiento, \(R(\bar{X}_j) = \frac{1}{|B_j|} \sum_{i \in B_j} R(X_i) = R(X_i)\), manteniendo invariancia.

10.1.6 Corolario — Regímenes macroscópicos coherentes.

Como consecuencia del Lema 10.1.5 — Coarse-graining preserva invariancias estructurales, los regímenes macroscópicos definidos en la Definición 10.1.3 — Regímenes macroscópicos son consistentes y describen propiedades emergentes que reflejan la estructura promedio de las configuraciones locales.

10.1.7 Proposición — Promedios estructurales como observables macroscópicos.

Los promedios estructurales \(\bar{X}\) de la Definición 10.1.4 — Promedios estructurales constituyen observables macroscópicos invariantes bajo transformaciones locales, permitiendo un marco matemático para describir el comportamiento global del sistema. Demostración: Aplicando el Lema 10.1.5 — Coarse-graining preserva invariancias estructurales, cualquier reconfiguración local respeta las relaciones globales definidas por \(\bar{X}\).

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