Capítulo 1 — 1. El dodecaedro rómbico como unidad espacial mínima

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Sección 1.1: Definición y propiedades geométricas básicas del dodecaedro rómbico

Definición 1.1.1: Dodecaedro rómbico (RD)

Sea \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\quad |x| + |z| \le 1,\quad |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

A este sólido le llamaremos dodecaedro rómbico.

El dodecaedro rómbico es el conjunto de puntos del espacio donde ninguna pareja de direcciones puede dominar simultáneamente, produciendo un sólido simétrico, finito y bien definido.


Convexidad y compacidad

Proposición 1.1.2:

Cada semiespacio lineal definido por \[ax + by + cz \le d\] es convexo.

Demostración:

Sea \(p = (x_p, y_p, z_p)\), \(q = (x_q, y_q, z_q)\) en el semiespacio definido por \(H: ax + by + cz \le d\).

Luego \[a x_p + b y_p + c z_p \le d, \quad a x_q + b y_q + c z_q \le d.\]


Sea \(\lambda \in [0,1]\). Demostremos que la combinación convexa \(\lambda p + (1-\lambda) q \in\) \(H\).

\[r=\lambda p + (1-\lambda) q = (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q, \ \lambda y_p + (1-\lambda)y_q, \ \lambda z_p + (1-\lambda) z_q).\]


Queremos demostrar que \(r \in H\), es decir:

\[a (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q) + b (\lambda y_p + (1-\lambda)y_q) + c (\lambda z_p + (1-\lambda) z_q) \le d.\]


Tenemos de lo anterior que:

\[\begin{aligned} a (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q) &+ b (\lambda y_p + (1-\lambda)y_q) + c (\lambda z_p + (1-\lambda) z_q) \\ &= \lambda (a x_p + b y_p + c z_p) + (1-\lambda)(a x_q + b y_q + c z_q). \end{aligned}\]


Como \(p, q \in H\), tenemos: \[a x_p + b y_p + c z_p \le d, \quad a x_q + b y_q + c z_q \le d. \]


Multiplicando por \(\lambda \ge 0\) y \(1-\lambda \ge 0\) (ambos en [0,1]): \[ \lambda(a x_p + b y_p + c z_p) \le \lambda d, \quad (1-\lambda)(a x_q + b y_q + c z_q) \le (1-\lambda)d. \]


De modo que:
\[r=\lambda(a x_p + b y_p + c z_p) + (1-\lambda)(a x_q + b y_q + c z_q) \le \lambda d + (1-\lambda)d = d.\]


Con esto concluimos que \(H\) es un semiespacio convexo. ∎


Proposición 1.1.3: La intersección finita de conjuntos convexos

Sea \(\{C_1, C_2, \dots, C_n\}\) una familia finita de conjuntos convexos en un espacio vectorial real \(V\). Entonces

\[C := \bigcap_{i=1}^n C_i\]

es un conjunto convexo.

Demostración:

Recordemos la definición: un conjunto \(C \subset V\) es convexo si para cualesquiera \(x,y \in C\) y todo \(\lambda \in [0,1]\) se cumple:

\[\lambda x + (1-\lambda)y \in C.\]


Sea ahora \(C = \bigcap_{i=1}^n C_i\).

Tomemos puntos arbitrarios \(x,y \in C\).

Por definición de intersección,

\[ x,y \in C_i \quad \text{para todo } i=1,\dots,n. \]


Como cada conjunto \(C_i\) es convexo, se sigue que para todo \(\lambda \in [0,1]\),

\[\lambda x + (1-\lambda)y \in C_i\quad \text{para todo } i=1,\dots,n.\]


Por lo tanto, el punto \(\lambda x + (1-\lambda)y\) pertenece a todos los conjuntos \(C_i\), y en consecuencia pertenece a su intersección:

\[ \lambda x + (1-\lambda)y \in \bigcap_{i=1}^n C_i = C. \]

Dado que esto vale para todo \(\lambda \in [0,1]\), concluimos que \(C\) es convexo.


Proposición 1.1.4:

El dodecaedro rómbico definido por \[\mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\ |x| + |z| \le 1,\ |y| + |z| \le 1 \right\}\] es convexo y compacto en \(\mathbb{R}^3\).

Demostración:

Demostración de la convexidad

Consideremos la desigualdad \[|x| + |y| \le 1.\]

Esto se puede reescribir como la intersección de cuatro semiespacios lineales: \[x+y \le 1,\quad x-y \le 1,\quad -x+y \le 1,\quad -x-y \le 1.\]


Por la proposición 1.1.2 cada una de estas inecuaciones son semiespacios lineales convexos.

Por la proposición 1.1.3, la intersección de estos semiespacios es convexa. Por lo tanto, \[|x| + |y| \le 1\] define un conjunto convexo.

Análogamente, \[|x| + |z| \le 1 \quad\text{y}\quad |y| + |z| \le 1\] son convexos.

Finalmente, \(\mathrm{RD}\) es la intersección de estos tres conjuntos convexos, por lo que \(\mathrm{RD}\) es convexo.

Demostración de la compacidad

Observemos que \[|x| + |y| \le 1\] implica que \(|x| \le 1\) y \(|y| \le 1\). De forma análoga, \[|x| + |z| \le 1 \quad\text{y}\quad |y| + |z| \le 1\] implican \(|x|, |y|, |z| \le 1\). Por lo tanto, \(\mathrm{RD}\) está acotado.


Las desigualdades son cerradas (\(\le\)), por lo que \(\mathrm{RD}\) contiene todos sus puntos límite, es decir, \(\mathrm{RD}\) es cerrado.


3. Un conjunto cerrado y acotado en \(\mathbb{R}^3\) es compacto por el teorema de Heine-Borel.


Conclusión:

\(\mathrm{RD}\) es convexo y compacto, como se quería demostrar. ∎

El resultado establece que el dodecaedro rómbico, al estar definido como la intersección de un número finito de restricciones lineales cerradas, forma un sólido geométrico bien comportado: cualquier segmento entre dos de sus puntos permanece dentro de él y, además, el sólido es finito y no presenta “bordes abiertos” en el espacio tridimensional.

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