Capítulo 1 — 5. Teorema de unicidad (bajo hipótesis explícitas)

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Sección 1.5

Teorema 1.5.1: Unicidad (bajo hipótesis explícitas).

Sea \(\Lambda \subset \mathbb{R}^n\) una red discreta, y sea \(\{V(\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}\) la familia de dominios de Voronoi asociados a \(\Lambda\).

Entonces, bajo las hipótesis siguientes:

  1. \(\Lambda\) es discreta (no tiene puntos de acumulación),
  2. la distancia considerada es la norma euclidiana,
  3. los dominios de Voronoi se definen mediante desigualdad no estricta,

se cumple:

Para todo punto \[ p \in \mathbb{R}^n \setminus \bigcup_{\lambda_1\neq\lambda_2} \bigl(\partial V(\lambda_1)\cap \partial V(\lambda_2)\bigr), \] existe un único \(\lambda\in\Lambda\) tal que \[ p \in \operatorname{int}(V(\lambda)). \]

En otras palabras: fuera de las fronteras de Voronoi, la asignación “punto \(\mapsto\) celda” es única.

Demostración:

Reformulación en términos de mínimos estrictos.

Por definición,

\[ V(\lambda) = \left\{ x\in\mathbb{R}^n \;\middle|\; \|x-\lambda\| \le \|x-\mu\| \;\;\forall\,\mu\in\Lambda \right\}. \]

Un punto \(p\) pertenece al interior \(\operatorname{int}(V(\lambda))\) si y solo si se cumple la desigualdad estricta

\[ \|p-\lambda\| < \|p-\mu\| \quad \forall\,\mu\in\Lambda,\ \mu\neq\lambda. \]


Existencia de al menos un minimizador.

Como \(\Lambda\) es discreta, el conjunto \[ \{\|p-\lambda\| : \lambda\in\Lambda\} \] es un subconjunto discreto de \(\mathbb{R}\). Por tanto, existe al menos un \(\lambda_0\in\Lambda\) tal que

\[ \|p-\lambda_0\| \le \|p-\lambda\| \quad \forall\,\lambda\in\Lambda. \]

Luego \(p\in V(\lambda_0)\).

Es decir, para cada \(p\) existe al menos un dominio de Voronoi que lo contiene.


Caracterización de la no unicidad.

Supongamos que existen dos puntos distintos \(\lambda_1,\lambda_2\in\Lambda\) tales que

\[ p\in V(\lambda_1)\cap V(\lambda_2). \]

Entonces, por definición,

\[ \|p-\lambda_1\| = \|p-\lambda_2\| \le \|p-\mu\| \quad \forall\,\mu\in\Lambda. \]

Esto implica que \(p\) pertenece al hiperplano mediador de \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\), es decir,

\[ p \in \partial V(\lambda_1)\cap \partial V(\lambda_2). \]


Unicidad fuera de las fronteras.

Por contraposición, si

\[ p \notin \bigcup_{\lambda_1\neq\lambda_2} \bigl(\partial V(\lambda_1)\cap \partial V(\lambda_2)\bigr), \]

entonces no puede existir más de un \(\lambda\in\Lambda\) que minimice la distancia a \(p\).

Por lo tanto, existe un único \(\lambda\in\Lambda\) tal que

\[ \|p-\lambda\| < \|p-\mu\| \quad \forall\,\mu\in\Lambda,\ \mu\neq\lambda, \]

lo que equivale a

\[ p \in \operatorname{int}(V(\lambda)). \]

Conclusión.

Bajo las hipótesis explícitas de discreción de la red y distancia euclidiana, la teselación de Voronoi es única punto a punto fuera de las fronteras: cada punto del espacio pertenece al interior de una única celda, y la no unicidad ocurre exclusivamente sobre los hiperplanos mediadores.


Conclusión: Aplicación al dodecaedro rómbico \(RD\).

Aplicando el Teorema de unicidad a la red cúbica \(\Lambda=\mathbb{Z}^3\subset\mathbb{R}^3\), y usando que \(RD=V(0)\) es el dominio de Voronoi del origen, se obtiene:

  • Los traslados \(\{RD+\lambda\}_{\lambda\in\mathbb{Z}^3}\) forman una teselación de \(\mathbb{R}^3\) con interiores disjuntos.
  • Para todo punto \[ p\in\mathbb{R}^3\setminus\bigcup_{\lambda_1\neq\lambda_2} \bigl(\partial(RD+\lambda_1)\cap\partial(RD+\lambda_2)\bigr), \] existe un único vector \(\lambda\in\mathbb{Z}^3\) tal que \(p\in\operatorname{int}(RD+\lambda)\).
  • La no unicidad de pertenencia ocurre únicamente sobre las caras, aristas o vértices compartidos, es decir, sobre los hiperplanos mediadores asociados a vecinos de la red.

En consecuencia, la teselación de \(\mathbb{R}^3\) por dodecaedros rómbicos es canónica y rígida: cada punto del espacio determina, salvo en un conjunto de medida nula (las fronteras), una única celda \(RD+\lambda\).

Esto justifica formalmente que cualquier análisis local realizado en un único \(RD\) —en vértices, aristas o caras— se extiende de manera unívoca y coherente a toda la teselación euclidiana.

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