Capítulo 1 — 2. Estructura combinatoria del dodecaedro rómbico

Sección 1.2: Estructura combinatoria del dodecaedro rómbico

Definición 1.2.1: Isometría en \(\mathbb{R}^3\)

Una aplicación \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) se llama una isometría si preserva la distancia euclidiana, es decir, si para cualesquiera puntos\((p,q) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3\) se cumple:

\[\|T(p) - T(q)\| = \|p - q\|\]

Proposición 1.2.2: Expresión del producto escalar en términos de la norma

Para cualesquiera vectores \(u, v \in \mathbb{R}^3\), el producto escalar puede expresarse en términos de la norma euclidiana mediante la identidad

\[ \langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\left( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2 \right). \]

Demostración:

Recordemos que la norma euclidiana está inducida por el producto escalar, es decir, \[\|w\|^2 = \langle w, w \rangle \quad \text{para todo } w \in \mathbb{R}^3.\]

Consideremos ahora el vector diferencia \(u - v\). Se tiene:

\[\|u - v\|^2 = \langle u - v, u - v \rangle.\]

Desarrollando el producto escalar y usando su bilinealidad y simetría, obtenemos:

\[\begin{aligned} \|u - v\|^2 &= \langle u, u \rangle - 2\langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle \\&= \|u\|^2 + \|v\|^2 - 2\langle u, v \rangle.\end{aligned}\]

Reordenando términos, se sigue que

\[ 2\langle u, v \rangle = \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2, \]

y dividiendo entre \(2\) se obtiene la identidad deseada.

Proposición 1.2.3: Preservación del producto escalar

Sea \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) una transformación que preserva normas y distancias, es decir,

\[\|T(w)\| = \|w\| \quad \text{para todo } w \in \mathbb{R}^3,\]

y, en particular,

\[\|T(u) - T(v)\| = \|u - v\| \quad \text{para todo } u,v \in \mathbb{R}^3.\]

Entonces \(T\) preserva el producto escalar, es decir,

\[ \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle \quad \text{para todo } u,v \in \mathbb{R}^3. \]

Demostración:

Partimos de la identidad válida de la proposición 1.2.2 para todo par de vectores \(u, v \in \mathbb{R}^3\):

\[ \langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\left( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2 \right). \]

Aplicamos ahora esta identidad al par de vectores \(T(u), T(v)\):

\[ \langle T(u), T(v) \rangle = \frac{1}{2}\left( \|T(u)\|^2 + \|T(v)\|^2 - \|T(u) - T(v)\|^2 \right). \]

Como \(T\) preserva normas individuales y normas de diferencias, se tiene:

\[ \|T(u)\|^2 = \|u\|^2, \quad \|T(v)\|^2 = \|v\|^2, \quad \|T(u) - T(v)\|^2 = \|u - v\|^2. \]

Sustituyendo estas igualdades en la expresión anterior, obtenemos:

\[ \langle T(u), T(v) \rangle = \frac{1}{2}\left( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2 \right). \]

Por la identidad inicial que expresa el producto escalar en términos de la norma, el lado derecho coincide exactamente con \(\langle u, v \rangle\).

Por tanto,

\[ \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle, \]

lo que concluye la demostración.

Proposición 1.2.4 Caracterización equivalente de isometría en \(\mathbb{R}^3\)

Sea \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) una aplicación. Entonces \(T\) es una isometría si y solo si preserva longitudes de segmentos, ángulos y productos escalares. En particular, \(T\) conserva la forma y el tamaño de las figuras geométricas en \(\mathbb{R}^3\).

Demostración:

Supongamos primero que \(T\) es una isometría. Por la definición 1.2.1, para cualesquiera puntos \(p,q \in \mathbb{R}^3\) se cumple

\[\|T(p) - T(q)\| = \|p - q\|\]

Esto implica que \(T\) preserva la longitud de cualquier segmento, ya que la longitud del segmento que une \(p\) y \(q\) viene dada por \(\|p-q\|\).

Por la proposición 1.2.3, \(T\) preserva el producto escalar.

Veamos ahora como \(T\) preserva ángulos:

Sea \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) una transformación que preserva el producto escalar, es decir,

\[\langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle \quad \text{para todo } u,v \in \mathbb{R}^3.\]

Recordemos que el ángulo \(\theta\) entre dos vectores no nulos \(u, v \in \mathbb{R}^3\) está definido por la relación

\[ \cos \theta = \frac{\langle u, v \rangle}{\|u\|\,\|v\|}. \]

Como consecuencia de la preservación del producto escalar, se tiene

\[ \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle. \]

Además, tomando \(v = u\) en la identidad anterior, se obtiene

\[ \|T(u)\|^2 = \langle T(u), T(u) \rangle = \langle u, u \rangle = \|u\|^2, \]

lo que implica que \(T\) también preserva normas:

\[ \|T(u)\| = \|u\|. \]

Aplicando ahora la definición del ángulo al par de vectores \(T(u), T(v)\), se obtiene:

\[ \cos \theta' = \frac{\langle T(u), T(v) \rangle}{\|T(u)\|\,\|T(v)\|}. \]

Sustituyendo las igualdades obtenidas, resulta

\[\cos \theta'= \frac{\langle u, v \rangle}{\|u\|\,\|v\|} = \cos \theta \quad \text{con} \quad \theta \in [0,\pi] \]

Por tanto, \(\theta' = \theta\), y el ángulo entre \(u\) y \(v\) coincide con el ángulo entre \(T(u)\) y \(T(v)\).

Esto prueba que \(T\) preserva ángulos.

Recíprocamente, supongamos que \(T\) preserva productos escalares. Entonces, para cualquier vector \(u \in \mathbb{R}^3\),

\[ \|T(u)\|^2 = \langle T(u), T(u) \rangle = \langle u, u \rangle = \|u\|^2. \]

De aquí se deduce que \(T\) preserva normas y, por lo tanto, para cualesquiera puntos \(p,q \in \mathbb{R}^3\),

\[ \|T(p) - T(q)\| = \|T(p-q)\| = \|p-q\|. \]

Esto demuestra que \(T\) es una isometría.

En consecuencia, una aplicación es una isometría si y solo si preserva longitudes, ángulos y productos escalares, lo que implica que conserva la forma y el tamaño de las figuras geométricas en \(\mathbb{R}^3\).

Definición 1.2.5: Caras de RD

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por

\[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\; |x| + |z| \le 1,\; |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

Cada cara de \(\mathrm{RD}\) se define como la intersección de \(\mathrm{RD}\) con un plano activo, donde un plano activo es una de las igualdades lineales obtenidas al eliminar los valores absolutos en las desigualdades que definen \(\mathrm{RD}\):

\[ \begin{aligned} x + y &= 1, & x - y &= 1, & -x + y &= 1, & -x - y &= 1, \\ x + z &= 1, & x - z &= 1, & -x + z &= 1, & -x - z &= 1, \\ y + z &= 1, & y - z &= 1, & -y + z &= 1, & -y - z &= 1. \end{aligned} \]

Denotemos el conjunto de caras como \(F(\mathrm{RD})\).

Cada cara del dodecaedro rómbico es un polígono plano formado al cortar el sólido con uno de los planos que “activan” sus restricciones, y el conjunto de todas estas caras describe completamente su superficie.

Proposición 1.2.6: Forma y congruencia de las caras

Cada cara de \(\mathrm{RD}\) es un rombo, y todas las caras son congruentes entre sí.

Demostración:

Parte A: Cada cara es un rombo

1. Consideremos un plano activo, por ejemplo \[x + y = 1.\]

2. El plano intersecta \(\mathrm{RD}\), lo que significa que también se deben cumplir las otras desigualdades: \[ |x| + |z| \le 1, \quad |y| + |z| \le 1. \]

3. Sustituyendo \(y = 1 - x\) en las desigualdades: \[ |x| + |z| \le 1 \implies |z| \le 1 - |x|, \quad |1 - x| + |z| \le 1 \implies |z| \le 1 - |1-x|. \]

4. Combinando estas restricciones, se obtienen cuadriláteros planos cuyos lados son segmentos lineales:

• Dos lados con pendiente \(+1\) en el plano \(x+y=1\)
• Dos lados con pendiente \(-1\) en el mismo plano

5. Como los cuatro lados son congruentes (misma longitud), el cuadrilátero es un rombo.

Parte B: Congruencia entre caras

1. Cada desigualdad activa tiene la misma estructura lineal. Por ejemplo, \(x+y=1\) y \(x-y=1\) generan rombos idénticos, solo rotados o reflejados en los ejes coordenados.

En efecto:

Consideremos dos planos activos del dodecaedro rómbico:

\[ \Pi_1 : x + y = 1, \qquad \Pi_2 : x - y = 1. \]

Definimos la transformación lineal \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) dada por

\[ T(x,y,z) = (x,-y,z). \]

Veamos que \(T\) así definida es una isometría:

Recordemos que una aplicación \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) es una isometría si preserva la distancia euclidiana, es decir, si para cualesquiera puntos \(p,q \in \mathbb{R}^3\) se cumple

\[ \|T(p) - T(q)\| = \|p - q\|. \]

Sean \(p = (x_1,y_1,z_1)\) y \(q = (x_2,y_2,z_2)\) dos puntos arbitrarios de \(\mathbb{R}^3\).

Entonces

\[ T(p) = (x_1,-y_1,z_1), \quad T(q) = (x_2,-y_2,z_2). \]

Calculamos la diferencia:

\[ T(p) - T(q) = (x_1-x_2,\,-(y_1-y_2),\,z_1-z_2). \]

La norma euclidiana de esta diferencia es

\[ \begin{aligned} \|T(p) - T(q)\|^2 &= (x_1-x_2)^2 + (-(y_1-y_2))^2 + (z_1-z_2)^2 \\ &= (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2. \end{aligned} \]

Por otro lado, la distancia entre \(p\) y \(q\) es

\[ \|p - q\|^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2. \]

Comparando ambas expresiones, se obtiene

\[ \|T(p) - T(q)\|^2 = \|p - q\|^2. \]

Como ambas normas son no negativas, al tomar raíces cuadradas se concluye que

\[ \|T(p) - T(q)\| = \|p - q\|. \]

Dado que esto vale para cualesquiera puntos \(p,q \in \mathbb{R}^3\), se concluye que la transformación \(T\) preserva la distancia euclidiana.

Por lo tanto, \(T\) es una isometría de \(\mathbb{R}^3\).

Sea ahora \((x,y,z) \in \Pi_1\). Entonces se cumple

\[x + y = 1.\]

Aplicando la transformación \(T\), se obtiene

\[ T(x,y,z) = (x,-y,z), \]

y se verifica inmediatamente que

\[ x - y = 1, \]

Veamos:

Primero, identifiquemos: \(\Pi_1 = \{(x,y,z):x+y=1\}\) y \(\Pi_2= \{(x,y,z):x-y=1\}\).

Sea \(p=(x,y,z) \in \Pi_1\). Luego \(T(p) = (x,-y,z)\). Queremos demostrar que \(T(p) \in \Pi_2\).

Como \(p=(x,y,z) \in \Pi_1\), entonces \(x+y=1\), de modo que \(x-(-y)=1\), así que \((x,-y,z) \in \Pi_2\), es decir, \(T(p) \in \Pi_2\), de donde \(T(\Pi_1) \subset \Pi_2\).

Ahora sea \((x,y,z) \in \Pi_2\). Queremos demostrar que \(\Pi_2 \subset T(\Pi_1)\).

Como \((x,y,z) \in \Pi_2\), entonces \(x-y=1\), de modo que \(x+(-y)=1\), por lo que \((x,-y,z) \in \Pi_1\).

Aplicando \(T\) a \((x,-y,z) \in \Pi_1\), tenemos \(T(x,-y,z) = (x,-(-y),z) = (x,y,z) \in T(\Pi_1)\), por lo que \(\Pi_2 \subset T(\Pi_1)\).

En conlcusión \(T(\Pi_1)=\Pi_2\).

por lo que \(T(x,y,z) \in \Pi_2\).

Además, la transformación \(T\) preserva las desigualdades que definen al dodecaedro rómbico, ya que las expresiones

\[ |x| + |y|,\quad |x| + |z|,\quad |y| + |z| \]

permanecen invariantes bajo el cambio \(y \mapsto -y\).

En consecuencia, la transformación \(T\) envía biunívocamente la cara de \(\mathrm{RD}\) contenida en el plano \(x+y=1\) sobre la cara contenida en el plano \(x-y=1\).

Dado que \(T\) es una isometría, ambas caras son congruentes, es decir, tienen la misma forma y el mismo tamaño. En particular, el rombo determinado por el plano \(x+y=1\) se obtiene del rombo determinado por el plano \(x-y=1\) mediante una reflexión respecto de un eje coordenado.

2. Todos los planos activos provienen de las mismas desigualdades, permutando signos o coordenadas.

3. Por simetría de la definición de \(\mathrm{RD}\) (permutación de coordenadas y cambio de signo), cada rombo tiene la misma forma y tamaño → congruencia.

Todas las caras del dodecaedro rómbico son rombos idénticos en forma y tamaño, y cada una se obtiene aplicando simetrías a los planos que definen el sólido.

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Corolario 1.2.7: Número de caras del dodecaedro rómbico

\[ |F(\mathrm{RD})| = 12. \]

Demostración:

• Para cada par de coordenadas \((x,y), (x,z), (y,z)\) hay 4 combinaciones de signos → 4 planos activos por par.
• Número total de caras = 3 pares × 4 = 12.∎

El dodecaedro rómbico tiene exactamente 12 caras, ya que cada par de coordenadas genera 4 planos activos y hay 3 pares de coordenadas, contabilizando todas las caras del sólido.

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Existencia de vértices

Definición 1.2.8: Vértices de RD

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1, \ |x| + |z| \le 1, \ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

Un vértice de \(\mathrm{RD}\) es un punto que es la intersección de tres caras adyacentes. Formalmente: \[ V(\mathrm{RD}) := \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x \pm y = \pm 1, \ x \pm z = \pm 1, \ y \pm z = \pm 1 \ \text{para combinaciones compatibles} \}. \]

Un vértice del dodecaedro rómbico es cualquier punto donde se encuentran simultáneamente tres caras adyacentes, determinando los puntos extremos del sólido.

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Proposición 1.2.9: Número y tipo de vértices

\(\mathrm{RD}\) tiene 14 vértices, que se dividen en:

• Vértices axiales: 6 vértices sobre los ejes coordenados \[ (\pm 1,0,0), \ (0,\pm 1,0), \ (0,0,\pm 1) \]
• Vértices cúbicos: 8 vértices formando un cubo inscrito \[ \left(\pm \tfrac12, \pm \tfrac12, \pm \tfrac12\right) \] con combinaciones de signos tal que cada coordenada toma \(\pm \tfrac12\).

Demostración:

Parte A: Obtención de vértices axiales

1. Consideremos los planos activos de las desigualdades: \[ |x| + |y| \le 1 \implies x+y = \pm 1 \text{ o } x-y = \pm 1, \] \[ |x| + |z| \le 1 \implies x+z = \pm 1 \text{ o } x-z = \pm 1, \] \[ |y| + |z| \le 1 \implies y+z = \pm 1 \text{ o } y-z = \pm 1. \]

2. Tomemos combinaciones donde dos coordenadas son cero, por ejemplo \(x = \pm 1, y = 0, z = 0\). Esto satisface todas las desigualdades: \[ |x| + |y| = 1+0 \le 1 \quad \checkmark, \quad |x| + |z| = 1+0 \le 1 \quad \checkmark, \quad |y| + |z| = 0+0 \le 1 \quad \checkmark \]

Veamos que \((1,0,0)\) es un vértice axial.

Ya se ha verificado previamente que \((1,0,0) \in \mathrm{RD}\). Ahora identificamos tres planos activos que contienen este punto:

\[ x+y = 1, \quad x-y = 1, \quad x+z = 1. \]

Comprobamos que \((1,0,0)\) satisface cada uno de ellos:

\[ \begin{aligned} x+y &= 1+0 = 1 \quad \checkmark, \\ x-y &= 1-0 = 1 \quad \checkmark, \\ x+z &= 1+0 = 1 \quad \checkmark. \end{aligned} \]

Estos tres planos son linealmente independientes. La intersección de tres planos independientes en \(\mathbb{R}^3\) es un único punto. Por lo tanto, \((1,0,0)\) es la intersección de tres caras del dodecaedro rómbico, y en consecuencia, es un vértice.

Por simetría del sólido respecto a los ejes coordenados y cambios de signo, los demás vértices axiales son:

\[ (0,\pm 1, 0), \quad (0,0,\pm 1), \quad (-1,0,0) \]

3. De forma análoga, obtenemos todos los vértices axiales: \[ (\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1). \] Número: 6 vértices.

Parte B: Obtención de vértices cúbicos

1. Consideremos combinaciones donde ninguna coordenada es cero.

2. Para que las desigualdades se cumplan: \[ |x| + |y| \le 1, \quad |x| + |z| \le 1, \quad |y| + |z| \le 1 \] con \(|x| = |y| = |z| = \tfrac12\), obtenemos: \[ \tfrac12 + \tfrac12 = 1 \le 1 \quad \checkmark \]

Consideremos el punto \(\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)\). Ya se ha verificado que pertenece a \(\mathrm{RD}\):

\[ |x|+|y| = \frac12 + \frac12 = 1 \le 1, \quad |x|+|z| = \frac12 + \frac12 = 1 \le 1, \quad |y|+|z| = \frac12 + \frac12 = 1 \le 1. \]

Ahora identificamos tres planos activos que contienen este punto:

\[ x+y = 1, \quad x+z = 1, \quad y+z = 1. \]

Comprobamos que el punto satisface cada uno de ellos:

\[ \begin{aligned} x+y &= \frac12 + \frac12 = 1 \quad \checkmark, \\ x+z &= \frac12 + \frac12 = 1 \quad \checkmark, \\ y+z &= \frac12 + \frac12 = 1 \quad \checkmark. \end{aligned} \]

Estos tres planos son linealmente independientes. La intersección de tres planos independientes en \(\mathbb{R}^3\) es un único punto. Por lo tanto, \(\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)\) es la intersección de tres caras del dodecaedro rómbico y, en consecuencia, es un vértice.

Por simetría de \(\mathrm{RD}\) bajo cambios de signo y permutaciones de coordenadas, los demás vértices cúbicos son:

\[ \left(\pm \frac12, \pm \frac12, \pm \frac12\right) \]

3. Todas las combinaciones de signos \[ \left(\pm \tfrac12, \pm \tfrac12, \pm \tfrac12\right) \] generan 8 vértices cúbicos que cumplen las tres desigualdades simultáneamente.

Parte C: Exhaustividad

• Todas las combinaciones de planos activos producen solo estas 14 soluciones.
• Por lo tanto, \[ |V(\mathrm{RD})| = 6 + 8 = 14. \]

Observación sobre la exhaustividad:
Para garantizar que los 14 puntos identificados sean todos los vértices de \(\mathrm{RD}\), consideremos cómo se generan los vértices como intersección de planos activos. Un vértice de \(\mathrm{RD}\) es un punto donde al menos tres planos activos linealmente independientes se intersectan. Los planos activos vienen de las desigualdades:

\[ x \pm y = 1, \quad x \pm z = 1, \quad y \pm z = 1. \]

Analizando todas las combinaciones posibles de tres planos activos linealmente independientes, aparecen únicamente dos tipos de soluciones:

• Vértices axiales: Puntos donde dos coordenadas son cero y la tercera toma valor \(\pm 1\). Por ejemplo, \((1,0,0)\). Estas combinaciones saturan desigualdades como \(x+y=1\), \(x-y=1\) y \(x+z=1\), o equivalentes, produciendo exactamente los 6 vértices axiales.
• Vértices cúbicos: Puntos donde ninguna coordenada es cero y todas las coordenadas tienen magnitud \(\frac12\). Por ejemplo, \((\frac12,\frac12,\frac12)\). Saturando tres planos activos de forma consistente con \(|x|+|y| \le 1\), \(|x|+|z| \le 1\) y \(|y|+|z| \le 1\), se obtiene exactamente los 8 vértices cúbicos.

No existen otras combinaciones de planos activos que generen soluciones adicionales: cualquier intento de saturar otras desigualdades produce puntos que no son intersección de tres planos linealmente independientes, o bien generan coordenadas que no satisfacen simultáneamente todas las desigualdades. Por lo tanto, estas 14 soluciones son todos los vértices posibles de \(\mathrm{RD}\).

El dodecaedro rómbico tiene exactamente 14 vértices: 6 a lo largo de los ejes coordenados (axiales) y 8 formando un cubo inscrito (cúbicos), y no existen otros vértices posibles.

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Corolario 1.2.10: Tipos de vértices y número de caras incidentes

• Vértices axiales: pertenecen a 4 caras
• Vértices cúbicos: pertenecen a 3 caras

Demostración:

Cada vértice axial, por ejemplo \((1,0,0)\), es la intersección de los siguientes 4 planos activos:

\[ x+y = 1, \quad x-y = 1, \quad x+z = 1, \quad x-z = 1 \]

Como la intersección de estos 4 planos determina un único punto, el vértice axial pertenece exactamente a 4 caras del dodecaedro rómbico.

Cada vértice cúbico, por ejemplo \((\frac12,\frac12,\frac12)\), es la intersección de 3 planos activos linealmente independientes:

\[ x+y = 1, \quad x+z = 1, \quad y+z = 1 \]

Esta intersección determina un único punto y, por lo tanto, el vértice cúbico pertenece exactamente a 3 caras.

De este modo, los vértices axiales del dodecaedro rómbico se intersectan con 4 caras, mientras que los vértices cúbicos se intersectan con 3 caras, mostrando cómo cada vértice conecta varias caras del sólido.

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Conclusión parcial 1.2.11: Estructura de los vértices

• \(\mathrm{RD}\) tiene 14 vértices
• Divididos en 6 axiales y 8 cúbicos
• Cada vértice está bien definido por la intersección de tres o cuatro planos activos
• Todo esto se deduce estrictamente de la definición formal, sin asumir nada externo

Los vértices axiales del dodecaedro rómbico tocan 4 caras, los cúbicos tocan 3, y en conjunto estos 14 vértices están completamente determinados por la intersección de los planos que definen el sólido.

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Intersección de caras y aristas

Definición 1.2.12: Aristas del dodecaedro rómbico

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\ |x| + |z| \le 1,\ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

Una arista de \(\mathrm{RD}\) es un segmento de recta que es la intersección de dos caras adyacentes. Formalmente, para dos planos activos \(P_1, P_2\): \[ e = \mathrm{RD} \cap P_1 \cap P_2 \] donde \(e\) contiene más de un punto. Denotamos el conjunto de aristas como \(E(\mathrm{RD})\).

Una arista del dodecaedro rómbico es cualquier segmento de línea donde se encuentran exactamente dos caras adyacentes, formando los bordes que conectan los vértices del sólido.

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Proposición 1.2.13: Caracterización geométrica de las aristas

Cada arista de \(\mathrm{RD}\) es un segmento lineal finito, intersección de exactamente dos caras adyacentes.

Demostración:

Consideremos el dodecaedro rómbico \(\mathrm{RD}\subset \mathbb{R}^3\), definido como intersección de semiespacios lineales cerrados. Cada cara \(F \subset \mathrm{RD}\) está contenida en un plano afín

\[ \Pi = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : ax + by + cz = d \}, \quad F = \mathrm{RD}\cap \Pi. \]

Como cada cara es un rombo, sus lados son segmentos lineales finitos contenidos en líneas del plano \(\Pi\).

Paso 1: Intersección de dos caras distintas

Sean \(F_1\) y \(F_2\) dos caras adyacentes de \(\mathrm{RD}\), contenidas en planos distintos \(\Pi_1\) y \(\Pi_2\). La intersección de dos planos distintos en \(\mathbb{R}^3\) es:

• vacía, o
• una recta afín \(L = \Pi_1 \cap \Pi_2\).

Como \(F_1\) y \(F_2\) son adyacentes, su intersección no es vacía:

\[ F_1 \cap F_2 \subset L \]

Paso 2: Exclusión del caso puntual

Supongamos, por contradicción, que la intersección de las dos caras adyacentes

\[ F_1 \cap F_2 = \{p\} \]

consistiera únicamente en un punto \(p\). Esto significaría que las dos caras solo se "tocan" en un vértice aislado, sin compartir ningún segmento. Sin embargo, en un poliedro convexo tridimensional, dos caras que se consideran adyacentes deben compartir una arista, es decir, un conjunto de dimensión uno (un segmento lineal), y no únicamente un punto.

Si dos caras se intersectaran solo en un punto:

• No habría un segmento de arista que conecte sus vértices, lo cual rompe la definición de adyacencia de caras en un poliedro convexo.
• No se podría mantener la estructura de frontera plana del poliedro en esa zona, contradiciendo la convexidad.

Por tanto, la intersección no puede reducirse a un solo punto y debe ser un segmento lineal finito. Esto garantiza que cada arista sea la intersección de exactamente dos caras.

Paso 3: La intersección es un segmento lineal

Quedan dos posibilidades para \(F_1 \cap F_2\):

• una recta completa, o
• un segmento de recta.

La primera es imposible, porque \(F_1\) y \(F_2\) son compactas (cerradas y acotadas). Por lo tanto, su intersección es un segmento lineal finito, contenido en la recta

\[ L = \Pi_1 \cap \Pi_2 \]

Este segmento es, por definición geométrica, una arista de \(\mathrm{RD}\).

Paso 4: Exactamente dos caras por arista

Sea \(e\) una arista de \(\mathrm{RD}\). Por construcción,

\[ e = F_1 \cap F_2 \]

para dos caras distintas \(F_1, F_2\). Supongamos que existe una tercera cara \(F_3\) tal que \(e \subset F_3\). Entonces \(e\) estaría contenido simultáneamente en tres planos afines distintos \(\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3\), pero la intersección de tres planos distintos en \(\mathbb{R}^3\) es vacía o un punto, nunca un segmento. Por tanto, cada arista pertenece exactamente a dos caras.

Paso 5: Finitud y conexión entre vértices

Sea \(e\) una arista de \(\mathrm{RD}\), que hemos demostrado ser un segmento lineal finito y no degenerado.

Como \(e\) es compacto y lineal, tiene exactamente dos extremos distintos, que llamaremos \(v_1\) y \(v_2\).

En un poliedro convexo tridimensional, un vértice se define como un punto donde se intersectan al menos tres caras. Observemos que cada extremo \(v_i\) de la arista \(e = F_1 \cap F_2\) necesariamente pertenece a las dos caras que generan la arista. Además, por la estructura de los poliedros convexos como el dodecaedro rómbico, cada extremo también pertenece a al menos una tercera cara, formando un vértice de dimensión cero.

Por lo tanto, \(v_1\) y \(v_2\) son vértices del poliedro, y el segmento \(e\) conecta estos dos vértices. Esto cumple la definición de arista: un segmento lineal finito que une dos vértices adyacentes de \(\mathrm{RD}\).

De este modo, cada arista conecta exactamente dos vértices distintos, garantizando la correcta estructura del poliedro.

Conclusión

Hemos demostrado que:

1. La intersección de dos caras adyacentes de \( \mathrm{RD} \) es un subconjunto unidimensional.
2. Dicha intersección no puede ser puntual ni infinita.
3. Por compactidad y convexidad, es un segmento lineal finito.
4. Cada arista pertenece exactamente a dos caras.
5. Cada arista conecta exactamente dos vértices.

Por tanto, cada arista del dodecaedro rómbico es un segmento lineal finito, intersección de exactamente dos caras adyacentes, como se quería demostrar. ∎

Cada arista del dodecaedro rómbico es un segmento de línea finito que une dos vértices y se forma exactamente donde se encuentran dos caras adyacentes.

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Proposición 1.2.14: Número de aristas

\(\mathrm{RD}\) tiene 24 aristas.

Demostración:

• Cada cara es un rombo (4 lados) → 12 caras × 4 lados = 48.
• Cada arista pertenece a exactamente dos caras → contamos cada arista dos veces.
• Número total de aristas: \[|E(\mathrm{RD})| = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24 \quad \checkmark\]

El dodecaedro rómbico tiene 24 aristas, contadas como segmentos de línea donde se encuentran dos caras adyacentes.

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Corolario 1.2.15: Relación vértice–arista

1. Cada vértice axial pertenece a 4 aristas (conecta 4 caras).
2. Cada vértice cúbico pertenece a 3 aristas (conecta 3 caras).
3. Por lo tanto, la estructura combinatoria de vértices y aristas está completamente determinada a partir de la definición formal.

Demostración:

Sea \(\mathrm{RD}\) un poliedro convexo (el dodecaedro rómbico) y sea \(e \subset \mathrm{RD}\) una arista, que es un segmento lineal finito y no degenerado.

Como \(e\) es compacto y lineal, tiene exactamente dos extremos distintos, a los que llamaremos \(v_1\) y \(v_2\):

\[ e = \overline{v_1 v_2}. \]

Cada extremo \(v_i\) pertenece a las dos caras que generan la arista \(e = F_1 \cap F_2\). Además, en un poliedro convexo tridimensional, cada vértice está definido como un punto donde se intersectan al menos tres caras. Por la geometría del dodecaedro rómbico, cada extremo de \(e\) también pertenece a al menos una tercera cara, cumpliendo así la definición de vértice.

Por lo tanto:

• \(v_1\) y \(v_2\) son vértices de \(\mathrm{RD}\).
• El segmento \(e\) conecta exactamente dos vértices adyacentes.

Esto muestra que cada arista de \(\mathrm{RD}\) une dos vértices distintos, garantizando la correcta estructura del poliedro.

Cada vértice conecta un número fijo de aristas: los vértices sobre los ejes (axiales) conectan 4 aristas y los vértices del cubo inscrito (cúbicos) conectan 3 (Corolario 1.2.10), determinando la red de conexiones del poliedro.

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Corolario 1.2.16: Relación arista–cara

• Cada arista está contenida exactamente en 2 caras.
• Cada cara contiene exactamente 4 aristas.
• Esto concuerda con la definición de rombo como cara plana y la convexidad de \(\mathrm{RD}\). ∎

Cada arista toca exactamente dos caras y cada cara tiene cuatro aristas; así se garantiza que el poliedro sea un conjunto de rombos conectados de manera consistente y convexa.

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Conclusión parcial 1.2.17: Estructura combinatoria de las aristas

• Todas las aristas son segmentos finitos bien definidos
• Cada arista es intersección de dos caras adyacentes
• Cada arista conecta dos vértices
• Número total de aristas: 24
• Todo esto se deduce estrictamente de la definición formal, sin asumir nada adicional

Matemáticamente: El dodecaedro rómbico tiene 24 segmentos lineales (aristas) que conectan sus 14 vértices de manera exacta y consistente, definidos únicamente por las intersecciones de sus caras (rombos), sin necesidad de suposiciones externas.