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Capítulo: Las Derivadas Capítulo: Las Derivadas Dirigido a estudiantes de primer año de universidad 1. Introducción motivacional (origen del concepto) En el mundo que nos rodea, el cambio es una constante. Pensemos en el movimiento de un automóvil: ¿cómo sabemos si acelera o desacelera en un instante preciso? O en la economía, donde los precios fluctúan: ¿qué nos dice sobre la tasa de inflación en un momento dado? Históricamente, el concepto de derivada surgió en el siglo XVII con Newton y Leibniz, motivados por problemas de física (movimiento planetario, óptica) y geometría (tangentes a curvas). Hoy se usa en biología (crecimiento poblacional), ingeniería (optimización estructural), economía, machine learning, entre muchos otros campos. La derivada existe para cuantificar el cambio instantáneo . 2. Problemas generadores Problema 1: Velocidad instantánea Un objeto cae desde 100 m con $s(t) = 100 - 4.9t^2$. ¿Cuál es su ...

LaTeX en HTML5 Ejemplo 2.1.6. El intervalo \[ F = [0,1) \] es un dominio fundamental para la acción del grupo \(\mathbb{Z}\) sobre \(\mathbb{R}\) dada por traslaciones \[ n \cdot x = x + n. \] Demostración. (DF1) Exhaustividad. Observemos que \[ n \cdot F = F + n = [n,n+1). \] Por tanto, \[ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} n\cdot F = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} [n,n+1) = \mathbb{R}. \] En efecto, dado \(x\in\mathbb{R}\), existe un único entero \(n=\lfloor x\rfloor\) tal que \[ y= x-n\in[0,1), \] es decir, \(x=y+n\), con \(y \in [0,1) \) \[ x\in n\cdot F. \] Luego toda órbita intersecta \(F\), y se cumple la exhaustividad. (DF2) No solapamiento de interiores. El interior de \(F\) es \[ \operatorname{int}(F)=(0,1). \] Además, \[ \operatorname{int}(n\cdot F)=(n,n+1). \] Supongamos que existe \(n\neq 0\) tal que \[ (0,1)\cap(n,n+1)\neq\varnothing. \] Entonces existiría \(x\) tal que \[ 0 \lt x \lt 1 \quad\text{y}\quad n \lt x \lt n+1. \] Esto imp...

LaTeX en HTML5 Proposición. Sea \[ \Lambda=\{(m,n,p)\in\mathbb Z^3:\; m+n+p \text{ es par}\}. \] Entonces el conjunto \[ \mathrm{RD} = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3: |x|+|y|\le 1,\; |x|+|z|\le 1,\; |y|+|z|\le 1\} \] es el dominio de Voronoi del origen respecto de la red \(\Lambda\). Demostración. Recordemos que el dominio de Voronoi del origen está definido por \[ V(0)= \{x\in\mathbb R^3: \|x\|\le \|x-\lambda\| \text{ para todo } \lambda\in\Lambda\}. \] Debemos probar que \(V(0)=\mathrm{RD}\). 1. Vectores más próximos en la red. Sea \(\lambda=(m,n,p)\in\Lambda\setminus\{0\}\). Como \(m+n+p\) es par, los vectores no nulos de menor norma en \(\Lambda\) son \[ (\pm1,\pm1,0),\quad (\pm1,0,\pm1),\quad (0,\pm1,\pm1), \] pues \(1+1+0=2\) es par. Su norma es \[ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \] No existen vectores de norma \(1\) en \(\Lambda\), ya que \((1,0,0)\) tiene suma impar. Por tanto, los vecinos más cercanos del origen están a distancia \(\sqrt...

17.13 Expansión acelerada del universo Sección 17.13: Expansión acelerada del universo. En este marco, la expansión acelerada no requiere energía oscura ni constante cosmológica externa; surge de la redistribución de incompatibilidades estructurales en el soporte discreto y de la minimización global de \(\Phi_{\rm tot}\). Definición 17.13.1: Tasa de expansión estructural. La tasa de expansión estructural \(\dot{a}_{\rm eff}\) es la velocidad efectiva a la que aumenta la separación media entre agregados masivos debido a la redistribución de incompatibilidades. $$ \dot{a}_{\rm eff} := \frac{d}{dt} \langle r_{ij} \rangle_{\rm agregados}, \quad \ddot{a}_{\rm eff} > 0 \text{ indica aceleración.} $$ Lema 17.13.2: Aceleración por redistribución de defectos. La aceleración de la expansión emerge cuando la redistribución de incompatibilidades efectúa una disminución del gradiente efectivo de \(\Phi_{\rm tot}\) en regiones de alta densidad de ...

17.12 Efectos gravitacionales avanzados Sección 17.12: Efectos gravitacionales avanzados y análogos cosmológicos. Se analizan los efectos de la gravedad estructural en configuraciones complejas y su relación con fenómenos cosmológicos, mostrando cómo la minimización de \(\Phi_{\rm tot}\) genera patrones de organización y límites dinámicos. Definición 17.12.1: Curvatura estructural efectiva. La curvatura estructural efectiva describe la desviación de trayectorias de subsistemas debido a la interacción emergente en agregados masivos. Lema 17.12.2: Correcciones discretas a la fuerza clásica. A escalas cercanas al límite discreto, la fuerza gravitatoria efectiva presenta pequeñas correcciones: $$ F_{\rm eff}(d) = \frac{1}{d^2} \left(1 + \epsilon(d)\right), \quad \epsilon(d) \ll 1 $$ Demostración. Considerando la estructura discreta del soporte y el bloque mínimo de coarse-graining, la fuerza derivada de \(\Phi_{\rm tot}\) presenta término...

17.11 Gravedad emergente Sección 17.11: Gravedad emergente. En esta sección se demuestra cómo la gravedad surge de la estructura discreta y la minimización global de \(\Phi_{\rm tot}\), y se derivan formalmente sus propiedades universales y su conexión con fenómenos cosmológicos. Definición 17.11.1: Gravedad estructural. La gravedad estructural es la interacción emergente que aparece entre subsistemas estables como consecuencia de la minimización global de \(\Phi_{\rm tot}\) sobre el soporte discreto. Lema 17.11.2: Universalidad de la fuerza atractiva. Todos los pares de subsistemas experimentan una atracción efectiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a gran escala. Demostración. Consideremos dos subsistemas \(S_i\) y \(S_j\). La minimización de \(\Phi_{\rm tot}\) impone configuraciones que disminuyen la incompatibilidad. Al pasar al límite continuo efectivo, el potencial estructural entre subsistemas se comporta c...